7.4 二项式定理 7.4.1 二项式定理 1.（x＋）9的展开式中的第4项是（ ） A.56x3 B.84x3 C.56x4 D.84x4 2.（2024·淮安月考）（x－y）10的展开式中x6y4的系数是（ ） A.－840 B.840 C.210 D.－210 3.（2024·镇江月考）若实数a＝2－，则a10－2a9＋22a8－…＋210＝（ ） A.32 B.－32 C.1 024 D.512 4.（1＋3x）n（n∈N*）的展开式中，若第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为（ ） A.4 B.27 C.36 D.108 5.（多选）对于二项式（x－）9的展开式，下列结论正确的是（ ） A.展开式共有10项 B.第6项的二项式系数是126 C.第6项的系数是126 D.x3的系数是84 6.（多选）若二项式（x＋）6展开式中的常数项为15，则实数m的值可能为（ ） A.1 B.－1 C.2 D.－2 7.的展开式中，第4项的二项式系数是 ，第4项的系数是 . 8.（2024·常州月考）在（1－x）5－（1－x）6的展开式中，含x3项的系数为 . 9.（x－）2n的展开式的中间项为 . 10.已知二项式（2x－1）4： （1）求展开式； （2）求展开式中第2项的二项式系数； （3）求展开式中第2项的系数. 11.（多选）对于二项式（n∈N*），以下判断正确的有（ ） A.存在n∈N*，展开式中有常数项 B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C.对任意n∈N*，展开式中没有含x的项 D.存在n∈N*，展开式中有含x的项 12.若（2x3＋）n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n的值为 ，此时常数项为 . 13.（x＋）100的展开式中，系数为有理数的共有 项. 14.已知在（－）n的二项展开式中，第6项为常数项. （1）求n； （2）求含x2的项的系数； （3）求展开式中所有的有理项. 15.已知数列{an}（n为正整数）是首项为a1，公比为q的等比数列. （1）求：a1－a2＋a3，a1－a2＋a3－a4； （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明. 7.4.1 二项式定理 1.B 由展开式的通项知T4＝x6（）3＝84x3. 2.B 在通项公式Tk＋1＝（－y）kx10－k中，令k＝4，得x6y4的系数为（－）4＝840. 3.A a10－2a9＋22a8－…＋210＝（a－2）10，当a＝2－时，（a－2）10＝32. 4.D Tk＋1＝（3x）k，由＝6，得n＝4，从而T4＝·（3x）3，故第四项的系数为·33＝108. 5.AB 二项展开式共有9＋1＝10（项），A正确；由已知得二项展开式的通项为Tk＋1＝x9－k·（－）k＝（－1）k··x9－2k，∴T6＝（－1）5··x9－2×5＝－126x－1，∴第6项的二项式系数为＝126，第6项的系数为－126，故B正确，C错误；令9－2k＝3，得k＝3，即展开式中第4项含x3，其系数为（－1）3·＝－84，D错误. 6.AB 二项式（x＋）6展开式的通项为Tk＋1＝x6－k·（）k＝mk.令6－k＝0，得k＝4，常数项为m4＝15，则m4＝1，解得m＝±1.故选A、B. 7.84 － 解析：Tk＋1＝·（x2）9－k·＝··x18－3k，当k＝3时，T4＝··x9＝－x9，所以第4项的二项式系数为＝84，第4项的系数为－. 8.10 解析：（1－x）5中x3的系数为－＝－10，－（1－x）6中x3的系数为－·（－1）3＝20，故（1－x）5－（1－x）6的展开式中x3的系数为10. 9.（－1）n 解析：Tr＋1＝x2n－r（－）r＝（－1）rx2n－2r，展开式共有2n＋1项，中间项为第n＋1项，即Tn＋1＝（－1）n. 10.解：（1）（2x－1）4＝[2x＋（－1）]4＝（2x）4（－1）0＋（2x）3（－1）1＋（2x）2（－1）2＋（2x）1（－1）3＋（2x）0（－1）4＝16x4－32x3＋24x2－8x＋1. （2）由（1）可知展开式中第2项的二项式系数为＝4. （3）由（1）可知展开式中第2项的系数为·23·（－1）＝－32. 11.AD 设二项式（n∈N*）展开式的通项为Tk＋1，则Tk＋1＝（x3）k＝x4k－n，不妨令n＝4，则当k＝1时，展开式中有常数项，故A正确，B错误；令n＝3，则当k＝1时，展开式中有含x的项 ... ...
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