*§5 数学归纳法 基础过关练 题组一 用数学归纳法证明等式 1.用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)×(2n+1)(n∈N+)时,从n=k到n=k+1,等式的左边需要增乘的代数式是( ) A.2k+1 B. C. D.2(2k+1) 2.用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+(n∈N+)时,第一步应验证的等式是 . 3.用数学归纳法证明…=(n≥2,n∈N+). 题组二 用数学归纳法证明不等式 4.用数学归纳法证明2n≥n2(n≥4)时,第二步应假设( ) A.n=k≥2时,2k≥k2 B.n=k≥3时,2k≥k2 C.n=k≥4时,2k≥k2 D.n=k≥5时,2k≥k2 5.某同学回答“用数学归纳法证明-1且x≠0,用数学归纳法证明命题“当n∈Z且n>1时,(1+x)n>1+nx”,第一步应验证的不等式为 . 7.已知f(n)=1+++…+(n∈N+),用数学归纳法证明f(2n)>时, f(2k+1)-f(2k)= . 8.用数学归纳法证明>对任意n≥n0的正整数n都成立时,第一步证明中的起始值n0应为 . 9.已知数列{an}中,a1=2,an+1=(2-)an+3-,n∈N+. (1)求{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足b1=2,bn+1=,证明:,1++>1,1+++…+>,1+++…+>2,1+++…+>,……,由此猜测第n(n∈N+)个不等式为 . 12. 已知数列{an}满足a1=,前n项和Sn=an. (1)求a2,a3,a4的值; (2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明. 13.定义在正整数集上的函数y=f(n)满足f(n)·[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],且f(1)=2. (1)求证:f(3)-f(2)=; (2)是否存在实数a,b,使f(n)=+1对任意正整数n恒成立 并证明你的结论. 答案与分层梯度式解析 1.D 从n=k到n=k+1,等式的左边需要增乘的代数式是=2(2k+1). 故选D. 2.答案 1-= 解析 因为n∈N+,所以第一步应验证n=1时的等式,此时左边=1-,右边=,故填1-=. 3.证明 当n=2时,左边=1-=,右边==, 左边=右边,所以当n=2时,等式成立. 假设当n=k(k∈N+,k≥2)时等式成立, 即…=, 那么当n=k+1时,·…·=·=·==,即当n=k+1时,等式也成立. 故对任意n≥2,n∈N+,等式恒成立. 4.C 根据数学归纳法的证明步骤,可知第二步应假设n=k≥4时,2k≥k2,故选C. 5.A 从n=k(k∈N+)到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,不符合数学归纳法的证明要求. 6.答案 (1+x)2>1+2x 解析 因为n∈Z且n>1,所以n的初始值为2, 所以第一步应验证的不等式为(1+x)2>1+2x. 易错警示 在利用数学归纳法证明命题时,不能误以为n的初始值只能取1,n的初始值是使命题成立的n的最小正整数. 7.答案 ++…+ 解析 因为当n=k时, f(2k)=1+++…+, 当n=k+1时, f(2k+1)=1+++…+++…+, 所以f(2k+1)-f(2k)=1++…+-=++…+. 8.答案 3 解析 不等式>即1->1-,即3n>6n+1,当n=1时,3<7,不等式不成立;当n=2时,32<13,不等式不成立;当n=3时,33>19,不等式成立;当n=4时,34>25,不等式成立;当n≥5时,根据指数函数与一次函数的性质可得3n>6n+1.所以第一步证明中的起始值n0应为3. 9.解析 (1)因为an+1=(2-)an+3-, 所以an+1-=(2-)an+3-2, 即an+1-=(2-)an+(-2), 即an+1-=(2-)(an-), 所以数列{an-}是首项为2-,公比为2-的等比数列, 故an-=(2-)(2-)n-1=(2-)n,即{an}的通项公式为an=(2-)n+. (2)证明:(i)当n=1时,因为<2,b1=a1=2,所以
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