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课件网) 知识点 1 函数在某点处的导数 5.1.2 导数的概念及其几何意义 必备知识 清单破 1.函数的平均变化率 对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx).这时,x的变化量为Δx,y的变化量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0).我们把比值 ,即 = 叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率. 2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(瞬时变化率) 如果当Δx→0时,平均变化率 无限趋近于一个确定的值,即 有极限,则称y=f(x)在x=x0 处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率),记作f'(x0)或y' , 即f'(x0)= = . 特别提醒 (1)函数f(x)在x=x0处的导数f '(x0)只与x0有关,与Δx无关,函数在某点处的导数是一 个定值,是函数在该点的函数值的改变量与自变量的改变量比值的极限,不是变量. (2)若极限 不存在,则称函数y=f(x)在x=x0处不可导. 1.切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x, f(x)),如果当点P(x, f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0 (x0, f(x0))时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处 的切线. 2.函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0,即k0= =f'(x0).这 就是导数的几何意义.相应地,切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0). 知识点 2 函数在某点处的导数的几何意义 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时, f'(x0)是一个唯一确定的数.这样, 当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也 记作y',即f'(x)=y'= . 知识点 3 导函数的定义 知识辨析 1.在平均变化率中,Δx,Δy均为正值吗 2.函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为零,说明函数值在此区间上没有发生变化,对吗 3.f'(x)与f'(x0)表达的意思相同吗 4.若直线l与曲线C有唯一公共点,则直线l一定是曲线C的切线吗 5.若过点P作曲线C的切线,则切线一定只有一条吗 6.若直线l与曲线C有不止一个公共点,则直线l一定不是曲线C的切线吗 一语破的 1.不是.Δx可正、可负,但不能为0;Δy可正、可负、可为0(当f(x)为常数函数时,Δy=0). 2.不对.只能说明f(x1)=f(x2),但f(x)的值在区间[x1,x2]上可能有变化. 3.不相同. f '(x)表示函数f(x)的导函数,是一个变量,而f '(x0)表示f '(x)在x=x0处的函数值,是确定 的值. 4.不一定.当直线l与曲线C有唯一公共点时,直线l不一定是曲线C的切线,如图①. 图① 5.不一定.切线条数与切点个数有关. 6.不一定.当直线l与曲线C有不止一个公共点时,直线l也可能是曲线C的切线,如图②. 图② 函数f(x)在区间[a,b]上的平均变化率实质上是指函数值的增量与自变量的增量之比,其 作用是刻画函数值在区间[a,b]上变化的快慢.它的几何意义是指P1(a, f(a)),P2(b, f(b))两点割 线的斜率. 关键能力 定点破 定点 1 函数的平均变化率 典例 汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速 度分别为 , , ,则三者的大小关系为 (用“>”连接). > > 解析 由题意得 = =kOA, = =kAB, = =kBC,由题图知 > > . 1.函数y=f(x)在x=x0处可导,必须满足两个条件 (1)f(x)在x0处及其附近有定义; (2)当Δx→0时, 的极限存在. 2.导数定义的等价形式 y'= = = (n≠0). 定点 2 导数概念的理解 典例 设函数y=f(x)在x=x0处可导,且 =1,求f'(x0). 解析 ∵ = =-3f'(x0)=1,∴f'(x0)=- . 方法技巧 利用导数的定义解题时,要注意增量Δx的形式是多种多样的,但无论Δx是哪种形 式,Δy必须是与之对应的形式.解决这类问题的关键就是等价变形,使问题得到转化. 1.利用定义求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤 (1)求函数 ... ...
