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课件网) 知识点 1 乘法公式 知识 清单破 4.1.2 乘法公式与全概率公式 1.由条件概率的计算公式P(B|A)= (P(A)>0)可知,P(BA)=P(A)P(B|A).一般地,这个结论称 为乘法公式. 2.乘法公式的推广 假设Ai表示事件,i=1,2,3,且P(A1)>0,P(A1A2)>0,则P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2|A1)P(A3|A1A2),其中P(A3| A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率,而P(A1A2A3)表示A1,A2,A3同时发生的概率. 知识点 2 全概率公式 1.一般地,如果样本空间为Ω,而A,B为事件,则P(B)=P(A)P(B|A)+P( )P(B| ).这称为全概率 公式. 2.全概率公式的推广 若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足: (1)任意两个事件均互斥,即AiAj= ,i,j=1,2,…,n,i≠j; (2)A1+A2+…+An=Ω; (3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n. 则对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn,且P(B)= P(BAi)= 知识点 3 贝叶斯公式* 1.一般地,当1>P(A)>0且P(B)>0时,有P(A|B)= = .这称为贝 叶斯公式. 2.贝叶斯公式的推广 若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足: (1)任意两个事件均互斥,即AiAj= ,i,j=1,2,…,n,i≠j; (2)A1+A2+…+An=Ω; (3)1>P(Ai)>0,i=1,2,…,n. 则对Ω中的任意概率非零的事件B,有P(Aj|B)= . 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”. 1.P(A)=P(B)P(A|B)+P( )P(A| ).( ) 2.全概率公式的直观解释:已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1,2,…,n),事件B发生的可 能性,就是各种可能情形Ai发生的可能性的和. ( ) 3.全概率公式的主要作用是“由结果推测原因”. ( ) √ 全概率公式的主要作用是“由原因推测结果”,贝叶斯公式的主要作用是“由结果推 测原因”. 提示 乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的方法,即当直接计算P(AB)较为困难时,可先 求出P(A),P(B|A)(或P(B),P(A|B)),再利用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)(或P(AB)=P(B)P(A|B))求 解. 讲解分析 疑难 1 乘法公式及其应用 疑难 情境破 典例 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时,忘记了密码的最后 1位数字.求: (1)任意按最后1位数字,不超过2次就按对的概率; (2)如果记得密码的最后1位是偶数,不超过2次就按对的概率. 解析 设Ai(i=1,2)为“第i次按对密码”,A为“不超过2次就按对密码”,则A=A1∪ A2. (1)事件A1与事件 A2互斥,由互斥事件的概率加法公式和乘法公式,得 P(A)=P(A1)+P( A2)=P(A1)+P( )·P(A2| )= + × = . 因此,任意按最后1位数字,不超过2次就按对的概率为 . (2)设事件B为“密码的最后1位是偶数”, 则由条件概率的性质可得P(A|B)=P(A1|B)+P( A2|B)= + × = . 因此,如果记得密码的最后1位是偶数,不超过2次就按对的概率为 . 全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求最后结果的概率,解题步骤如下: (1)求划分后的每个小事件发生的概率,即P(Ai),i=1,2,…,n; (2)求每个小事件发生的条件下,事件B发生的概率,即P(B|Ai); (3)利用全概率公式计算P(B),即P(B)= P(Ai)P(B|Ai). 讲解分析 疑难 2 全概率公式及其应用 典例 (1)两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为 0.02,加工出来的零件放在一起.已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍,则任意 取出一个零件是合格品的概率是( ) A. B. C. D. (2)设盒中装有5只灯泡,其中3只是好的,2只是坏的,现从盒中随机地摸出2只,并换进2只好的, 再从盒中摸出2只,则第二次摸出的2只全是好的的概率为 . C 0.55 解析 (1)设Ai=“任意取出一个零件是由第i台机床加工出来的”,i=1,2,B=“任意取出一个 零件是合格品”,则A1,A2互斥. 依题意,有P(A1)= ,P(A2)= ,P( |A1)=0.03,P( |A2)=0.02,则P(B|A1)=0.97,P(B|A2)=0.98, ∴P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)= ×0.97+ ×0 ... ...
