6.1.3 共面向量定理 基础过关练 题组一 判断向量共面或四点共面 1.下面关于空间向量的说法正确的是( ) A.若非零向量a,b平行,则a,b所在直线平行 B.若向量a,b所在直线是异面直线,则a,b不共面 C.若A,B,C,D四点不共面,则向量不共面 D.若A,B,C,D四点不共面,则向量不共面 2.若向量a,b,c不共面,则下列选项中三个向量不共面的是 ( ) A.b-c,b,b+c B.a+b,c,a+b+c C.a+b,a-c,c D.a-b,a+b,a 3.已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外任意一点,下列条件中能确定点M,A,B,C共面的是( ) A. B. C. D. 题组二 共面向量定理的应用 4.已知P为空间中任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且,则实数x的值为( ) A. 5.已知向量e1,e2,e3不共面,且a=2e1-e2+e3,b=-e1+4e2-2e3,c=11e1+5e2+λe3,若向量a,b,c共面,则λ= . 6.已知圆锥PO(P为圆锥顶点,O为底面圆的圆心)的轴截面是边长为2的等边三角形,A,B,C为底面圆周上三点,空间一动点Q满足,则||的最小值为 . 7.对任意空间四边形ABCD,已知E,F分别是AD,BC的中点.证明:(1)共面; (2)不共线. 能力提升练 题组 共面向量定理的应用 1.已知点D在△ABC所确定的平面内,O是平面ABC外任意一点,若正实数x,y满足,则的最小值为( ) A. C.2 D.4 2.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形,,AC1与平面EFG交于点M,则=( ) A. 3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,H分别在棱BB1,BC,BA上,且满足,O是平面B1HN,平面ACM与平面B1BDD1的一个公共点,设,则x+y+3z=( ) A.2 B. 4.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱AD,B1C1的中点.若P为侧面ADD1A1内(含边界)的动点,且存在x,y∈R,使成立,则点P的轨迹长度为( ) A. 5.已知A,B,C三点不在同一条直线上,A,B,C,P四点共面,对空间任意一点O,满足,则实数t= ,= . 6.一种糖果的包装纸由一个边长为6的正方形和2个等腰直角三角形组成(如图1),沿AD,BC将2个三角形折起到与平面ABCD垂直,连接EF,AE,CF,AC,如图2,若点P满足,且x+y+z=1,则||的最小值为 . 7.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,若E,F分别为PC,BD的中点.求证: (1)EF∥平面PAD; (2)EF⊥平面PCD.(用向量方法证明) 答案与分层梯度式解析 6.1.3 共面向量定理 基础过关练 1.D 2.C 3.D 4.B 1.D 由向量平行与直线平行的区别,可知A不正确;空间向量为自由向量,与起点位置无关,通过平移可将空间中任意两个向量平移到一个平面内,因此空间中任意两个向量都是共面的,故B,C都不正确;因为AB,AC,AD是空间中共端点A但不共面的三条线段,所以向量不共面.故选D. 2.C A中,b-c=2b-(b+c),∴b-c,b,b+c三个向量共面,故A不符合题意; B中,a+b+c=(a+b)+c,∴a+b,c,a+b+c三个向量共面,故B不符合题意; C中,不存在实数λ,μ,使得a+b=λ(a-c)+μc成立,∴a+b,a-c,c三个向量不共面,故C符合题意; D中,a=[(a-b)+(a+b)],∴a-b,a+b,a三个向量共面,故D不符合题意.故选C. 3.D 要想空间中的四点M,A,B,C共面,只需满足,且x+y+z=1即可. 对于A,x+y+z=2+-1≠1,故M,A,B,C四点不共面; 对于B,x+y+z=3-2-2≠1,故M,A,B,C四点不共面; 对于C,x+y+z=≠1,故M,A,B,C四点不共面; 对于D,x+y+z==1,故M,A,B,C四点共面.故选D. 4.B ,∵P是空间中任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面, ∴=1,解得x=-,故选B. 5.答案 1 解析 因为向量a,b,c共面,所以存在实数m,n,使得c=ma+nb,即11e1+5e2+λe3=(2m-n)e1+(-m+4n)·e2+(m-2n)e3,即 6.答案 解析 因为, 所以Q,A,B,C四点共面. 易得PO⊥平面ABC,所以||≥||. 因为圆锥PO的轴截面是边长为2的等边三角形, 所以| ... ...
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