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课件网) 7.4 二项式定理 知识点 二项式定理及相关概念 7.4.1 二项式定理 必备知识 清单破 1.二项式定理:(a+b)n= an+ b+…+ br+…+ bn(n∈N*). 2.二项展开式的通项:Tr+1= an-rbr(r=0,1,…,n). 3.二项式系数: (r=0,1,…,n). 知识辨析 1.(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b的值是否有关 2.(a+b)n的展开式中的第r项是什么 3.(a-2b)6的展开式中的第四项的二项式系数与第四项的系数是否相同 4.在 的二项展开式中,是否存在常数项 5.若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则a7+a6+…+a1的值是多少 一语破的 1.无关. 2.Tr= ,r=1,2,3,…,n+1. 3.不相同.因为(a-2b)6的展开式的通项为 a6-r(-2b)r,r=0,1,2,3,4,5,6,所以第四项的二项式系数 为 =20,第四项的系数为 (-2)3=-160. 4.存在.二项展开式的第(r+1)项为Tr+1= x6-r·(-2)r· =(-2)r x6-2r,r=0,1,2,3,4,5,6,要得到常数 项,需6-2r=0,得r=3,所以二项展开式中存在常数项,为第4项,即T4=(-2)3 =-160. 5.129.令x=1,得a7+a6+…+a1+a0=27,令x=0,得a0=-1,∴a7+a6+…+a1=27+1=129. 1.二项展开式的通项的注意点 (1)Tr+1是展开式中的第(r+1)项,而不是第r项,且Tr+1 an-rbr,r=0,1,2,…,n. (2)公式中a,b的指数和为n,且a,b不能随便调换位置. (3)通常将通项中的系数和字母分离开,以便于解决问题. (4)对于二项式(a-b)n的展开式的通项要特别注意符号问题. 关键能力 定点破 定点 1 由二项展开式的通项求特定项(项的系数) 2.求二项展开式中特定项的常用方法 (1)对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次幂). (2)对于有理项,一般先写出展开式的通项,然后令其所有的字母的指数都等于整数.解这类问 题必须合并通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据数的整除性来求解. (3)对于二项展开式中的整式项,其通项中同一字母的指数合并后应是非负整数,求解方式与 求有理项一致. 典例 (1) 的展开式中的有理项共有 ( ) A.4项 B.5项 C.6项 D.7项 (2)(多选) 的展开式中 ( ) A.有常数项 B.有一次项 C.含x3项的二项式系数为-5 D.含x3项的系数为-5 (3)在(x- )n(n∈N*)的展开式中,第二项与第四项的系数之比为1∶2,则含x2的项为 . C BD 12x2 解析 (1)因为 的二项展开式的通项为Tr+1= ·2r (r=0,1,2,…,10),令20- 为整 数,得r=0,2,4,6,8,10,所以有理项共有6项. 故选C. (2) 的二项展开式的通项为Tr+1= x5-rx-r(-1)r=(-1)r x5-2r, 令5-2r=0,无整数解,所以展开式中没有常数项,令5-2r=1,得r=2,所以展开式中有一次项,故A错 误,B正确; 令5-2r=3,得r=1,所以含x3的项是T2=- x3,含x3项的二项式系数是 =5,该项的系数为-5,故C错 误,D正确. 故选BD. (3)(x- )n(n∈N*)的展开式的第二项与第四项分别为T2= xn-1·(- )=- ·nxn-1,T4= xn-3·(- )3 =-2 xn-3. 依题意得 = , 即n2-3n-4=0且n≥3,所以n=4. 故(x- )n=(x- )4,其展开式的通项为Tr+1= x4-r(- )r(r=0,1,2,3,4),令4-r=2,得r=2,即(x- )4的 展开式中含x2的项为T3= x2(- )2=12x2. 知识拓展 二项式系数基本定理:(axα+bxβ)n(a,b∈R,ab≠0,α≠β,n∈N*)的展开式中,xt的系数 为 an-rbr,其中r= . 三项式求特定项的方法 (1)因式分解法:先通过因式分解将三项式变成两个二项式,然后用二项式定理分别展开. (2)逐层展开法:先将三项式分成两组(一项组和两项组),用二项式定理展开,再把其中的两项 组展开. (3)利用组合知识:把三项式(a+b+c)n看成n个式子(a+b+c)的积,利用组合知识分析项的构成,注 意最后把各个同类项合并. 定点 2 三项展开式问题 典例1 的展开式中x2的系数为 . 800 解析 解法一:(x2+3x+2)5=[(1+x)(2+x)]5=(1+x)5(2+x)5, (1+x)5的展开式的通项为Tr+1= xr,(2+x)5的展开式的通项为Tk+1= 25-kx ... ...
