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课件网) 知识点 二项式系数的性质 7.4.2 二项式系数的性质及应用 必备知识 清单破 1.对称性 在(a+b)n的展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 = (m∈N,n∈N*, m≤n). 2.增减性与最大值 (1)增减性:当r< 时, < ;当r> 时, < . (2)最大值:当n为偶数时,中间一项的二项式系数 最大;当n为奇数时,中间两项的二项式系 数 , 相等,且最大. 3.二项式系数的和 (1)二项展开式中,各项的二项式系数的和等于2n,即 + + +…+ =2n. (2) + + +…= + + +…= . 4.特殊情况 在杨辉三角中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,即 + = . 知识辨析 1.二项展开式的各二项式系数的和是 + +…+ 吗 2.(x+2)5与(x-2)5的展开式的各二项式系数和相等吗 3.若(a+b)n的展开式的第4项的二项式系数与第6项的二项式系数相等,则二项式系数最大的 项是哪一项 4.在(1-x)9的展开式中,系数最大的项是第5项和第6项吗 一语破的 1.不是.二项展开式的各二项式系数的和是 + + +…+ =2n. 2.相等.均为25=32. 3.由题意可知, = ,所以n=3+5=8,(a+b)8的展开式的中间项为第5项,所以第5项为二项式系 数最大的项. 4.不是.展开式共有10项,其中奇数项的系数为正,偶数项的系数为负,所以系数最大的项仅为 第5项. 1.展开式中二项式系数最大的项的确定方法 (1)当n为偶数时,中间一项 的二项式系数最大; (2)当n为奇数时,中间两项 第 项和第 项,即 和 的二项式系数相等且最大. 2.展开式中系数最值的确定方法 方法一,二项展开式中的系数是关于正整数n的式子,可以看成关于n的函数,利用判断函数单 调性的方法判断系数的增减性,从而求出系数的最值. 关键能力 定点破 定点 1 求解二项式系数、系数最值问题 方法二,分析系数的符号,利用不等式组求解,具体如下:(1)在系数符号相同的前提下,求系数 的最大(小)值只需比较两组相邻两项系数的大小,根据通项列出不等式组即可.(2)当各项系 数正负相间时,求系数的最大值应在系数都为正的各项系数间构造不等式组;求系数的最小 值应在系数都为负的各项系数间构造不等式组. 典例 在(3x-2y)20的展开式中,求: (1)二项式系数最大的项; (2)系数绝对值最大的项; (3)系数最大的项. 解析 (1)二项式系数最大的项是第11项,T11= ×310×(-2)10x10y10=610 x10y10. (2)设系数绝对值最大的项是第(r+1)(0≤r≤20,r∈N)项, 于是 化简,得 解得 ≤r≤ (r∈N),所以r=8, 即T9= ×312×28×x12y8是系数绝对值最大的项. (3)因为系数为正的项为y的偶次方项, 所以可设第(2k-1)(1≤k≤11,k∈N)项系数最大, 于是 所以 解得k=5,即第9项系数最大,T9= ×312×28×x12y8. 知识拓展 二项展开式系数最大理论:在(ax+by)n(a,b∈R,且a,b≠0,n∈N*)的展开式中,第k= +1项系数的绝对值最大,其中[x]为取整函数. 1.利用二项式定理解决整除或求余数问题 (1)利用二项式定理解决整除或求余数问题,关键是要巧妙构造二项式,通常把底数写成除数 (或与除数密切相关的数)与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,只考虑后面(或前面) 一两项就可以了. (2)要注意余数的范围:a=cr+b中,r是除数,b是余数,且b∈[0,r).切记余数不能为负数,所以利用 二项式定理展开变形后,若“剩余部分”是负数,则要注意进行转换. 2.利用二项式定理进行近似计算 利用二项式定理进行近似计算,其关键在于构造恰当的二项式(p+q)n(n∈N*,p∈Z,|q|<1), 并根据近似要求,对其展开式的项合理取舍,通常只考虑前面(或后面)几项,从而确定(p+q)n的 近似值. 定点 2 二项式定理的应用 3.利用二项式定理证明有关不等式 利用二项式定理证明组合数不等式,通常表现为二项式定理的正用或逆用,再结合不等 式证明的方法进行论证.证明不等式时,应注意运用放缩法,可将对结 ... ...
