第1章 导数及其应用 专题强化练3 利用导数研究恒成立问题 60分钟 1.已知函数f(x)=ex+a,x∈(0,+∞),当x1
g(x)对x∈R恒成立,则a的取值范围是( ) A. B.(3e,+∞) C. D.(6e,+∞) 3.已知函数f(x)=aex+x(ln a+x-ln x),若不等式f(x)≥x在x∈(0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.[1,+∞) B. C. D. 4.已知函数f(x)=若关于x的不等式f(x)≤ax+a-在R上恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.[,] B.[,] C.[,] D.[,] 5.已知函数f(x)=+ex-e-x,若不等式f(ax2)+f(1-2ax)≥1对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.(0,e] B.[0,e] C.(0,1] D.[0,1] 6.(多选)若实数t≥2,则下列不等式中一定成立的是( ) A.(t+3)ln(t+2)>(t+2)ln(t+3) B.(t+1)t+2>(t+2)t+1 C.1+>logt(t+1) D.log(t+1)(t+2)>log(t+2)(t+3) 7.已知函数f(x)=ln x-ax2+bx,当x>0时,f(x)≤0恒成立,则的最大值为 . 8.已知不等式(ax-ln x)·(ex-ax)≥0对任意x>0恒成立,则实数a的取值范围是 . 9.已知函数f(x)=.若对任意x1,x2∈[a,+∞),都有f(x1)-f(x2)≤成立,则实数a的最小值是 . 10.已知函数f(x)=ln x,g(x)=xln x.若当x∈(0,+∞)时,f(x)≤kx+b≤g(x)恒成立,则k-b的值等于 . 11.已知函数f(x)=ax+xln x在x=e(e为自然对数的底数)处取得极值. (1)求实数a的值; (2)若不等式f(x)>k(x+1)在[e,+∞)上恒成立,求k的取值范围. 12.已知函数f(x)=ln x-a·,a∈R. (1)讨论f(x)的单调区间; (2)当x∈(0,1)时,(x+1)ln x0时, f(x)>-x-1. 答案与分层梯度式解析 第1章 导数及其应用 专题强化练3 利用导数研究恒成立问题 1.C 由已知,可得当x10在x∈(0,+∞)上恒成立,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)>g(0)=1,所以-a≤1,解得a≥-1,故选C. 2.A 令h(x)=f(x)-g(x)=2(x-5)ex-x3+2x2+a,则h'(x)=2ex+2(x-5)ex-x2+4x=(x-4)(2ex-x), 令s(x)=2ex-x,则s'(x)=2ex-1,令s'(x)<0,解得x0,解得x>ln , 故s(x)在上单调递减,在上单调递增,故s(x)的极小值,也是最小值,为s=1-ln >0. 令h'(x)>0,解得x>4,令h'(x)<0,解得x<4,故h(x)在(-∞,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增,故h(x)的极小值,也是最小值,为h(4)=-2e4++a>0,解得a>2e4-,故选A. 方法技巧 不等式恒成立问题的常见解法 ①分离参数,a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min; ②数形结合,y=f(x)的图象恒在y=g(x)的图象的上方(或下方); ③讨论最值, f(x)min≥0或f(x)max≤0恒成立. 3.C 由f(x)≥x(x∈(0,+∞))得aex+x(ln a+x-ln x)≥x(x∈(0,+∞)),即+ln a+x-ln x≥1(x∈(0,+∞)), ∴eln a+x-ln x+ln a+x-ln x≥e0+0在(0,+∞)上恒成立, 令g(x)=ex+x,易知g(x)在R上单调递增,且g(0)=1,∴g(ln a+x-ln x)≥g(0), ∴ln a+x-ln x≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴ln a≥ln x-x在(0,+∞)上恒成立, 构造函数h(x)=ln x-x,x∈(0,+∞), 则h'(x)=-1=,x∈(0,+∞), 当x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减, ∴h(x)的极大值,也是最大值,为h(1)=-1, ∴ln a≥-1,解得a≥. 故选C. 4.A 画出函数f(x)的大致图象,如图所示: f(x)≤ax+a-在R上恒成立,即函数f(x)的图象与直线y=ax ... ... 
