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课件网) 2.3 空间向量基本定理及坐标表示 1.共面向量的概念:一般地,能平移到同一平面内的向量叫作共面向量. 2.平面向量基本定理:如果两个向量e1,e2不共线,那么向量p与向量e1,e2共面的充要 条件是存在有序实数组(x,y),使得p=xe1+ye2. 3.相关结论:在三个向量a,b,c中,某个向量为0,或者某两个向量平行,则这三个向量共面. 1 | 共面向量 设e1,e2,e3是空间中三个不共面向量,则空间中任意一个向量p可以分解成这三 个向量的实数倍之和:p=xe1+ye2+ze3,此表达式中的系数x,y,z由p唯一确定,即若p= xe1+ye2+ze3=x'e1+y'e2+z'e3,则x=x',y=y',z=z'. 我们把{e1,e2,e3}称为空间的一组基,e1,e2,e3叫作基向量,(x,y,z)称为向量p=xe1+ye2+ze3在基{e1,e2,e3}下的坐标. 2 | 空间向量的基本定理 1.标准正交基:空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量i,j,k不共面,可将它们组 成空间的一组基,我们把这组基称为标准正交基. 2.向量的坐标:空间每个向量p都可以分解成基向量的实数倍之和: p=xi+yj+zk,系 数x,y,z按顺序排成的实数组(x,y,z),称为向量p的坐标,记为p=(x,y,z). 3.与向量坐标有关的结论:一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标,等于表示这 个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标. 3 | 空间向量的直角坐标表示 1.空间向量的坐标运算法则 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2). 运算 坐标表示 加法 a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) 减法 a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2) 数乘 λa=(λx1,λy1,λz1)(λ∈R) 数量积 a·b=x1x2+y1y2+z1z2 4 | 空间向量运算的坐标表示 结论 坐标表示 共线 a∥b(a≠0) x2=λx1,y2=λy1,z2=λz1,λ∈R 向量模长公式 |a|= 向量夹角公式 cos
= = 垂直 a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0 2.空间向量常用结论的坐标表示 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2). 知识拓展 1.四点共面的充要条件 空间中任一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使 =x + y ,或对空间中任一点O,有 = +x +y (或 =(1-x-y)· +x +y ). 2.定比分点坐标公式 已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)两点,点M在直线AB上, =λ (λ∈R且λ≠-1),则称点M 为有向线段 的定比分点,其坐标为 . 1.空间向量的基是唯一的吗 不是.由空间向量基本定理可知,任意三个不共面的向量都可以组成空间的一组 基,所以空间向量的基不是唯一的. 2.在空间直角坐标系中,向量 的坐标与其终点B的坐标相同,对吗 不对.当且仅当起点A与原点O重合时,向量 的坐标才与其终点B的坐标相同. 3.若向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),能否说“a∥b = = ” 不能.当x2,y2,z2都不为0时,a∥b = = 才成立,否则有些分式无意义. 4.平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别 平面向量与空间向量的坐标运算均有加减、数乘、数量积运算,其算法是相同 的.但空间向量比平面向量多一个竖坐标,竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一 样的. 知识辨析 用基向量表示向量的步骤 (1)定基向量:若未给定基向量,则应根据已知条件,确定三个不共面的向量作为空 间的基向量. (2)找目标:用已给定或确定好的基向量表示目标向量,需要根据三角形法则或平 行四边形法则,结合相等向量及向量的相关运算进行变形、化简. (3)下结论:将变形、化简后的目标向量进行整理,得到最终结果.注意此结果中只 能含有基向量,不能含有其他形式的向量. 1 利用基向量解决几何问题 典例 如图,已知四棱锥P-ABCD,四边形ABCD为平行四边形,M,N分别是PC,PD 上的点,且 =2,PN=ND,设 =a, =b, =c. (1)以{a,b,c}为基表示向量 ; (2)若 =xa+yb+zc,求实数x,y,z的值. 解析 (1) = + = + = + ( + + )= - + =- a+ b+ c. (2) = - = - = ( - )- ( - )= - - ( + )+ =- - + =- a- b+ c, 所以x=- ,y=- ,z= . ... ... 