第2章 空间向量与立体几何 2.4 空间向量在立体几何中的应用 2.4.4 向量与距离 基础过关练 题组一 点到直线的距离 1.已知A(3,1,0),B(5,2,2),C(2,0,3),则点C到直线AB的距离为 ( ) A.3 B. C.2 D. 2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是A1B1的中点,则点A到直线BE的距离是 ( ) A. B. C. D. 题组二 点到平面的距离与直线到平面的距离 3.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),D(1,1,2),则点D到平面ABC的距离为( ) A. B. C. D. 4.如图,在正四棱锥P-ABCD中,O为底面中心,PO=AO=3,M为PO的中点,=2. (1)求证:DM∥平面EAC; (2)求直线DM到平面EAC的距离. 题组三 两平行线间的距离 5.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中,已知E为CC'上一点,且2CE=EC',在平面CDD'C'内作EF∥A'B,交C'D'于点F,则直线EF与A'B之间的距离为 . 6.如图,已知=(1,0,-1),=(-1,2,1),则以OA,OB为邻边的平行四边形的两条高的长度分别为 . 题组四 两平行平面间的距离 7.在空间直角坐标系中,A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,0,0),D(-1,2,1),其中A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,已知平面α∥平面β,则平面α与平面β间的距离为( ) A. B. C. D. 8.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别为AB,BC,BB1的中点. (1)求证:平面A1DC1∥平面EFG; (2)求平面A1DC1与平面EFG间的距离. 能力提升练 题组 用空间向量求空间中的距离 1.已知△ABC的三个顶点分别为A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD的长等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.在如图所示的几何体中,AD⊥平面PDC,△PDC是等腰直角三角形,四边形ABCD为平行四边形,且PD=DC=AD=2,则点C到平面PAB的距离为( ) A.1 B. C. D. 3.(多选)在空间直角坐标系O-xyz中,A(-1,0,0),B(1,2,-2),C(0,0,-2),则( ) A.·=3 B.点B到平面AOC的距离是2 C.异面直线OC与AB所成角的余弦值为 D.点O到直线AB的距离是 4.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上的两个动点,且EF的长为定值,则点Q到平面PEF的距离 ( ) A.等于a B.和EF的长度有关 C.等于a D.和点Q的位置有关 5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ABC=45°,CF⊥BC,CF=BC=2,PA=PB,平面PAB⊥平面ABCD,E,F分别是PD,AB的中点. (1)求证:EF∥平面PBC; (2)若CE与平面PCF所成的角θ为30°,求点B到平面CEF的距离d. 答案与分层梯度式解析 第2章 空间向量与立体几何 2.4 空间向量在立体几何中的应用 2.4.4 向量与距离 基础过关练 1.D 易得=(2,1,2),=(-1,-1,3),所以=1.设点C到直线AB的距离为d,则d==.故选D. 2.B 如图所示,建立空间直角坐标系, 则B(0,0,0),A(0,2,0),E(0,1,2), ∴=(0,2,0),=(0,1,2), 设∠ABE=θ,则cos θ===, ∴sin θ==, ∴点A到直线BE的距离d=||sin θ=2×=. 3.A 依题意,=(-1,1,0),=(-1,0,1),=(0,1,2), 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), 则令x=1,得y=1,z=1, 则n=(1,1,1)为平面ABC的一个法向量, 则点D到平面ABC的距离d===, 所以点D到平面ABC的距离为.故选A. 4.解析 (1)证明:连接BD,则O为BD的中点,且AC⊥BD, 在正四棱锥P-ABCD中,PO⊥平面ABCD,AC,BD 平面ABCD,所以PO⊥AC,PO⊥BD,所以PO,AC,BD两两垂直. 以点O为坐标原点,OA,OB,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,1为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(3,0,0),C(-3,0,0),D(0,-3,0),M,E(0,2,1),所以=,=(6,0,0),=(-3,2,1), 设平面EAC的法向量为m=(x,y,z), 则取y=1,则x=0,z=-2,则m=(0,1,-2)为平面EAC的一个法向量, 因为·m=3-3=0,所以⊥m,又因为DM 平面EAC,所以DM∥平面EAC. (2)由(1)知DM∥平面EAC,所以直线DM到平面EAC的距离即为点D到平面EAC的距离.由(1)知=(3,3,0),平面EAC的一个法向量为m=(0,1,-2), ... ...
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