第2章 空间向量与立体几何 本章复习提升 易混易错练 易错点1 对空间向量的相关概念理解不清 1.如图,已知空间四边形每条边和对角线的长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是( ) A.2· B.2· C.2· D.2· 2.已知a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则cos
等于 . 3.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量 (填“一定”或“不一定”) 共面. 4.若=λ+μ(λ,μ∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系为 . 5.已知a=(5,3,1),b=,若a与b的夹角为钝角,求实数t的取值范围. 易错点2 混淆向量夹角与空间角的范围 6.如图,在三棱锥O-ABC中,∠AOB=∠AOC=60°,OA=OB=OC,BC=OA,则异面直线OB与AC所成的角是( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 7.在三棱锥C-ABD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若n1与n2的夹角为,则平面ABD与平面BCD的夹角为 . 易错点3 不能正确地建立空间直角坐标系解决立体几何问题 8.如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点. (1)求证:BD∥平面 FGH; (2)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD所成角的大小. 思想方法练 一、利用方程思想求值 1.如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PC⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2,AD=CD=1,E是PB上一点. (1)求证:平面EAC⊥平面PBC; (2)若E是PB的中点,且二面角P-AC-E的余弦值是,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值. 二、利用函数思想求最值 2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,M,N分别是棱CC1,B1C1,BB1的中点,动点F在线段MN上运动. (1)证明:A1F∥平面D1AE; (2)求直线EF与平面D1AE所成角的正弦值的最大值. 三、利用转化与化归思想解决空间几何问题 3.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥AC,AB⊥AC,AB=AC=2,PA=4,点M是PA的中点,点D是AC的中点,点N在PB上,且PN=2NB. (1)证明:BD∥平面CMN; (2)求平面MNC与平面ABC所成角的余弦值. 答案与分层梯度式解析 第2章 空间向量与立体几何 本章复习提升 易混易错练 1.B 由题意易得与,与的夹角均为π-=,与的夹角为π,与的夹角为0,故2·=-a2,2·=-a2,2·=-a2,2·=a2,故选B. 易错警示 由于向量具有方向,因此其夹角不同于两直线的夹角.如向量和的夹角不是∠BAC,而是π-∠BAC. 2.答案 解析 ∵a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4, ∴向量a,b,c首尾相连组成三角形,记三角形的顶点分别为A,B,C. 令=c,=b,=a,则BC=2,CA=3,AB=4. 由余弦定理得cos∠BCA===-, 易知向量和的夹角是180°-∠BCA, ∴cos=. 3.答案 一定 解析 空间向量均是自由向量,若三个向量中的两个向量共线,则这三个向量一定能平移到同一平面内,所以这三个向量一定共面. 4.答案 AB 平面CDE或AB∥平面CDE 解析 由=λ+μ(λ,μ∈R)可知,向量与向量,共面,则直线AB可能在平面CDE内,也可能和平面CDE平行. 易错警示 由向量共线得到的相关直线的位置关系有平行和重合两种可能;由向量共面得到的线面关系有平行和线在面内两种可能. 5.解析 由题意得a·b<0且a,b不共线, ∴ 解得t<且t≠-. 故实数t的取值范围为∪. 易错警示 两向量a,b的夹角为钝角时,a·b<0,但a·b<0时,a,b的夹角为钝角或平角,故在解题时应注意排除a,b的夹角为180°的情况. 6.B ∵OA=OB=OC,BC=OA,∴∠BOC=90°. ∵OA=OC,∠AOC=60°,∴AC=OA. 又∵·=·(-)=·-·=-·=-||2, ∴cos<,>==-,∴<,>=120°,∴异面直线OB与AC所成的角为60°. 易错警示 异面直线所成角的取值范围为. 7.答案 解析 因为平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,且n1,n2的夹角为,所以平面ABD与平面BCD的夹角为. 易错警示 本题易混淆平面与平面的夹角和二面角的平面角,平面与 ... ... 
