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课件网) 1.公式:设Ai(i=1,2,…,n)为n个事件,若满足 (1)AiAj= (i≠j), (2) A1∪A2∪A3∪…∪An=Ω(Ω为样本空间), (3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任一事件B,有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An) P(B|An)= P(Ai)P(B|Ai). 此公式称为全概率公式. 3.1.4 全概率公式 *3.1.5 贝叶斯公式 1 | 全概率公式 2.公式的直观意义:如图,B发生的概率与P(BAi)(i=1,2,…,n)有关,且B发生的概率等 于所有这些概率的和,即P(B)= P(BAi)= P(Ai)P(B|Ai). (1)对于随机事件A与B,A发生的条件下B发生的概率为 P(B|A)= . 此公式称为贝叶斯公式(又称逆概率公式). (2)设A1,A2,…,An满足AiAj= (i≠j),且A1∪A2∪…∪An=Ω.若P(Ai)>0(i=1,2,…,n),则 对任一事件B(其中P(B)>0),由条件概率及全概率公式,有 P(Ai|B)= = (i=1,2,…,n). 2 | 贝叶斯公式* 1.全概率公式中,A1,A2,…,An可以是任意一组随机事件,对吗 不对.必须是一组两两互斥的随机事件,且并事件是样本空间. 2.全概率公式的直观解释:已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1,2,…,n),事 件B发生的可能性,就是各种可能情形Ai发生可能性的概率之和,对吗 不对.全概率公式的直观解释:已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1,2,…,n),事件B发生的可能性,就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和. 3.贝叶斯公式实质是条件概率,对吗 对.贝叶斯公式是在“结果”已经发生的条件下,寻找各“原因”发生的条件概率. 知识辨析 全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求最后结果的概率,解题步骤如下: 先求划分后的每个小事件的概率,即P(Ai),i=1,2,…,n;再求每个小事件发生的条件下,事件B发生的概率,即P(B|Ai),i=1,2,…,n;最后利用全概率公式计算P(B),即P(B)= P(Ai)P(B|Ai). 1 全概率公式及其应用 典例 已知某超市的玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别是0.8,0.1,0.1,某顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员随机取出一箱,顾客开箱随机查看4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回,试求顾客买下该箱玻璃杯的概率. 解析 记事件B为顾客买下该箱玻璃杯,事件Ai为取出的一箱中有i只残次品,i=0,1,2. 则P(A0)=0.8,P(A1)=0.1,P(A2)=0.1, P(B|A0)=1,P(B|A1)= = ,P(B|A2)= = , 由全概率公式可得,P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.8×1+0.1× +0.1× ≈0.94. 即顾客买下该箱玻璃杯的概率约为0.94. 贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因,在运用贝叶斯公式时,一般已知和未知的条件如下: (1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的,但是每种情况发生的概率已知,即P(Ai)已知; (2)事件B是已经发生的确定事实,且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知,即P(B|Ai)已知; (3)P(B)未知,需要使用全概率公式计算得到; (4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B). 2 各种贝叶斯公式及其应用* 典例 甲盒装有1个白球2个黑球,乙盒装有3个白球2个黑球,丙盒装有4个白球1 个黑球.现采取掷骰子的方式选盒,出现1、2或3点选甲盒,出现4、5点选乙盒,出 现6点选丙盒,在选出的盒里随机摸出一个球,经过秘密选盒摸球后,宣布摸得一个 白球,求此球来自乙盒的概率. 解析 设A1={摸出的球来自甲盒},A2={摸出的球来自乙盒},A3={摸出的球来自丙 盒},B={摸得白球},则P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= ,P(B|A1)= ,P(B|A2)= ,P(B|A3)= . 由贝叶斯公式可知此白球来自乙盒的概率为 P(A2|B)= = = = .第3章 概率 3.1 条件概率与事件的独立性 3.1.4 全概率公式 *3.1.5 贝叶斯公式 基础过关练 题组一 全概率公式 1.为了提升全民身体素质, ... ...
