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课件网) 1.回归直线与回归直线方程 我们常常用一条直线来反映所给出的散点图的分布趋势,找出与散点图中各点散 布趋势相似的直线,使各点经过或充分靠近该直线,这样所得到的直线就可以比 较科学地反映实际问题中两个变量之间的相关关系.这条直线叫作回归直线,这 条直线的方程叫作回归直线方程. 2.回归分析 (1)由散点图求出回归直线并进行统计推断的过程叫作回归分析. (2)在回归分析中,被预测或被解释的变量称为因变量,用y表示.用来预测或解释因变量的变量称为自变量,用x表示. 4.2 一元线性回归模型 1 | 回归直线方程 1.一元线性回归方程 如果具有相关关系的两个变量x,y可用方程y=a+bx来近似刻画,则称此式为y关于x的一元线性回归方程,其中a,b称为回归系数. 由于我们是利用样本数据(一组观测值)去估计总体的回归直线方程,因此我们在a,b,y的上方加记号“ ”以区别实际的a,b,y,此时得到估计的回归直线方程形式为 = + x,它是根据样本数据求出的回归方程的估计. 2.一元线性回归模型 (1)当自变量x取值xi(i=1,2,…,n)时,我们将根据回归直线方程估计出的 与实际观 测值yi的误差,即yi- =yi-( + xi)(i=1,2,…,n),称为随机误差,记作ei. (2)我们把yi= + xi+ei(i=1,2,…,n)这一描述因变量y如何依赖于自变量x和随机误 差ei的方程称为一元线性回归模型. 2 | 一元线性回归模型 3.最小二乘法 (1)用随机误差的平方和即Q= 作为总随机误差来刻画各估计值与实 际值之间的误差.若总随机误差最小,则这条直线就是所要求的回归直线.由于平 方又叫二乘方,所以这种使“随机误差平方和最小”的方法叫作最小二乘法. (2)( , )称为样本中心,回归直线一定过样本中心. (3) 此 时,用最小二乘法得到的回归直线方程为 = + x,其中 是回归直线在y轴上的截 距, 是回归直线的斜率. 一般地,运用一元线性回归模型思想解决实际问题的基本步骤如下: (1)确定研究对象,明确哪个变量是因变量,哪个变量是自变量; (2)运用相关系数的计算公式,分析自变量与因变量之间的关系; (3)运用最小二乘原理估计一元线性回归方程的系数,建立一元线性回归方程; (4)根据一元线性回归方程进行预测.知识拓展 研究两个变量的关系时,依据样本画出散点图,从整体上看,如果样本点没有分布在一条直线附近,就称这两个变量之间不具有线性相关关系.当两个变量不具有线性相关关系时,依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据,可通过变量代换,利用一元线性回归模型建立两个变量间的非线性回归方程.常见的非线性回归方程的转换方式如下: 3 | 一元线性回归模型的应用 曲线方程 曲线(曲线的一部分) 变换公式 变换后的 线性函数 y=axb c=ln a, v=ln x, u=ln y u=c+bv y=aebx c=ln a, u=ln y u=c+bx y=a c=ln a, v= , u=ln y u=c+bv y=a+bln x v=ln x y=a+bv 1.在一元线性回归模型中,变量y由变量x唯一确定吗 不是.变量y的值由x和随机误差e共同确定,即自变量x只能解释部分y的变化. 2.在回归分析中,利用回归直线方程求出的函数值一定是真实值吗 不一定.利用回归直线方程求出的值只是预报值. 3.对于散点图中的点没有均匀分布在某条直线附近或毫无规则可言的两个变量, 用最小二乘法能求出对应的回归直线方程吗 能.但求得的回归直线方程并不能反映两个变量间的关系. 知识辨析 1.回归直线方程中系数的两种求法 (1)公式法:利用公式求出回归系数 , . (2)待定系数法:利用回归直线必过样本中心( , )求回归系数 , . 2.回归分析的两种题型及解题策略 (1)利用回归直线方程进行预测:把回归直线方程看作一次函数的解析式,求函数值. (2)利用回归直线判断正、负相关:决定两个变量是正相关关系还是负相关关系 的是回归系数 . 1回归直线方程的求解与应用 典例 某地随着 ... ...
