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课件网) 北师大版 数学 选择性必修第一册 课标定位 素养阐释 1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程. 3.明确p的几何意义,并能解决简单的求抛物线标准方程问题,提升逻辑推理和数学运算素养. 自主预习 新知导学 一、抛物线的定义 【问题思考】 1.如图2-3-1,我们在黑板上画一条直线EF,然后取一个三角板和一条拉链,拉链的长度与三角板的一条直角边AB相等.将三角板的另一条直角边贴在直线EF上,拉链的一端固定在三角板顶点B处,另一端固定在黑板上的点C处.在拉链D处放置一支粉笔,沿着直线EF上下拖动三角板,粉笔会画出一条曲线. 图2-3-1 (1)画出的曲线是什么形状 提示:抛物线. (2)|DA|是点D到直线EF的距离吗 为什么 提示:是.因为AB是直角三角形的一条直角边. (3)点D在移动过程中,到直线EF的距离和到点C的距离在数量上满足什么关系 . 提示:相等. 2.平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作 抛物线 .这个定点F叫作抛物线的 焦点 ,这条定直线l叫作抛物线的 准线 . 3.一动圆的圆心在抛物线y2=8x上且恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点( ). A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-2) 解析:直线x+2=0为抛物线的准线,所以动圆过抛物线的焦点(2,0).故选B. 答案:B 二、抛物线的标准方程 【问题思考】 1.(1)抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么 提示:p的几何意义是焦点到准线的距离. (2)到定点A(3,0)和定直线l:x=-3距离相等的点的轨迹是什么 轨迹方程又是什么 提示:轨迹是抛物线,轨迹方程为y2=12x. (3)如何确定抛物线的焦点位置和开口方向 提示:一次项变量为x(或y),则焦点在x轴(或y轴)上;若系数为正,则焦点在正半轴上;系数为负,则焦点在负半轴上,焦点确定,开口方向也随之确定. 2.抛物线的标准方程 表2-3-1 3.抛物线y2=2x的焦点坐标是 ,准线方程是 . 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)并非所有二次函数的图象都是抛物线.( ) (2)抛物线是双曲线的一支.( ) (3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点轨迹一定是抛物线. ( ) (4)抛物线y2=20x的焦点坐标是(0,5).( ) × × × × 合作探究 释疑解惑 探究一 求抛物线的焦点或准线 【例1】 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程. (1)y2=40x;(2)4x2=y;(3)6y2+11x=0. 已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程的方法 先将所给方程化为标准形式,由标准方程得到参数p,从而得焦点坐标和准线方程.需注意p>0,焦点所在位置由标准方程一次项的系数确定,系数为正,焦点在正半轴;系数为负,焦点在负半轴. 【变式训练1】 指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线的开口方向. (1)y= x2; (2)x=ay2(a≠0). 探究二 求抛物线的标准方程 【例2】 根据下列条件确定抛物线的标准方程. (1)关于y轴对称且过点(-1,-3); (2)过点(4,-8); (3)焦点在直线x-2y-4=0上; (4)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为 . (2)由题意,可设所求抛物线方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p'y(p'>0).将点(4,-8)的坐标代入y2=2px,得p=8.将点(4,-8)的坐标代入x2=-2p'y,得p'=1. 故所求抛物线方程为y2=16x或x2=-2y. 1.求抛物线方程,先判断焦点位置,通常用待定系数法. (1)若能确定抛物线的焦点位置,则直接设出抛物线的标准方程,求出p的值即可; (2)若抛物线的焦点位置不确定,则要分情况讨论. 2.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2=ax(a≠0),焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2=ay(a≠0). 【变式训练2】 求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)过点M(-6,6); (2)焦点F在直线l:3x-2y-6=0上. 解:(1)∵点M(-6,6)在第二象限, ∴过点M的抛物线 ... ...
