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课件网) 北师大版 数学 选择性必修第一册 课程标准 1.了解空间直角坐标系,理解空间向量的坐标表示. 2.掌握空间向量运算的坐标表示. 3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用. 4.掌握空间向量的模、夹角以及两点间距离公式,能运用公式解决问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 空间向量运算的坐标表示 向量的坐标运算是形与数的转化 1.标准正交基 在空间直角坐标系O-xyz中,分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i,j,k,这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i,j,k},这组基叫作标准正交基. 根据空间向量基本定理,对于任意一个向量p,都存在唯一的三元有序实数组(x,y,z),使得p=xi+yj+zk. 把三元有序实数组(x,y,z)叫作向量p在标准正交基{i,j,k}下的坐标,记作p=(x,y,z). 中间的“=”不能省略,即不能写成p(x,y,z) 单位向量i,j,k都叫作坐标向量. 2.若点A的坐标为(x1,y1,z1),点B的坐标为(x2,y2,z2),则 =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 也就是说:一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 3.空间向量运算的坐标表示 设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据空间向量的运算法则,不难得到: (1)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2); (2)a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2); (3)λa=(λx1,λy1,λz1),λ∈R; (4)a·b=x1x2+y1y2+z1z2. 两个空间向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和 思考辨析 自主诊断 1.[人教A版教材习题]已知a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),求: (1)a+b;(2)6a;(3)3a-b;(4)a·b. 解 (1)a+b=(-2,7,4). (2)6a=(-18,12,30). (3)3a-b=(-10,1,16). (4)a·b=2. 2.已知{e1,e2,e3}是标准正交基,分别写出下列空间向量的坐标: (1)p=2e1+3e2+e3; (2)q=-e1+e2-2e3; (3)r=-2e2-e3; (4)0. 解 (1)p=(2,3,1). (2)q=(-1,1,-2). (3)r=(0,-2,-1). (4)因为0=0e1+0e2+0e3,所以0=(0,0,0). 3.[人教A版教材习题]已知a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2).求: (1)a·(b+c);(2)a+6b-8c. 解 (1)∵b=(2,0,3),c=(0,0,2),∴b+c=(2,0,5). 又a=(2,-3,1), ∴a·(b+c)=2×2+0×(-3)+5×1=4+0+5=9. (2)a+6b-8c=(2,-3,1)+6(2,0,3)-8(0,0,2)=(2,-3,1)+(12,0,18)-(0,0,16)=(14,-3,3). 知识点2 空间向量平行(共线)和垂直的条件 我们知道,当b≠0时,a∥b λ∈R,使得a=λb. 共线向量基本定理 使用此式时注意分母不能为0 类似地,可得a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0. 思考辨析 平面向量中的结论:已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b x1y2-x2y1=0.此结论在空间向量中能推广吗 提示 不能推广. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若a=(2,0,1),b=(-2,3,0),则a⊥b.( ) × × × 2.(多选题)已知a=(2,-3,1),则下列向量中与a平行的是( ) A.(1,1,1) B.(-4,6,-2) C.(2,-3,5) D.(-2,3,-1) BD 3.已知向量a=(1,2,1),b=(1,1,0)且b⊥(ka+b),则k=( ) D 解析 ∵向量a=(1,2,1),b=(1,1,0),∴ka+b=(k+1,2k+1,k). ∵b⊥(ka+b),∴b·(ka+b)=k+1+2k+1=0,解得k=- . 知识点3 空间向量长度与夹角的坐标表示 设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据空间向量运算的坐标表示,可以得到以下结论: 思考辨析 1.你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗 提示 如图,建立空间直角坐标系O-xyz, 2.平面向量夹角的坐标表示是否可以推广到空间向量夹角的坐标表示 提示 可以. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若a=(1,2,0),b=(-2,0,1),则|a|=|b|.( ) (2)设a=(1,-1,1),b=(-2,0,1),则cos
= .( ) √ √ 2.[人教A版教材习题]求证:以A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形. 3.[人教A版教材习题]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱 ... ... 
