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课件网) 北师大版 数学 选择性必修第一册 基础落实·必备知识一遍过 知识点 正方体截面探究 平面与几何体相交所得平面图形(包含它的内部) 用一个平面去截几何体,此平面与几何体的交集,叫作这个几何体的截面,此平面与几何体表面的交集(交线)叫作截线,此平面与几何体的棱的交集(交点)叫作截点. 1.方法(交线法).该作图关键在于确定截点,有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连接成截线,从而求得截面. 2.作截线与截点的主要根据有: (1)确定平面的条件. (2)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们相交于过此点的一条 直线. (3)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. (4)如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就和交线平行. (5)如果两个平面平行,第三个平面和它们相交,那么两条交线平行. 正方体被平面所截,截面的形状是什么 提示 截面可以为三角形、正方形、矩形、梯形、五边形、六边形(如图所示). 思考辨析 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)截面的边是平面与几何体的交线.( ) (2)用一个平面去截正方体最少要经过正方体的三个面,最多经过正方体的六个面.( ) (3)平面与正方体的截面是三角形时,三角形可以为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.( ) √ √ × 重难探究·能力素养速提升 探究点一 截面经过的三个已知点分别在多面体的棱上, 且其中有两点在同一个面的棱上 【例1】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别在AB,BC,DD1上,求作过E,F,G三点的截面. 解 作法:(1)在底面ABCD内,过点E,F作直线EF分别与DA,DC的延长线交于点L,M. (2)在侧面A1ADD1内,连接LG交AA1于K. (3)在侧面D1DCC1内,连接GM交CC1于H. (4)连接KE,FH.则五边形EFHGK即为所求的截面. 规律方法 作正方体截面的方法 作正方体的截面←截面与正方体各个面的交线 ↑ 截面与正方体各面的公共点 变式训练1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱A1D1的中点,F是棱AB的中点,G是棱BC的中点,作出过E,F,G的平面截得正方体的截面形状. 解 过E,F,G的平面截得正方体的截面为六边形EKFGHQ,如图所示, 作法:观察所给的条件,发现FG是一条交线, 又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,第三个平面和它们相交,截面和平面A1B1C1D1的交线一定和FG平行, 而E是A1D1的中点,故取C1D1的中点Q,则EQ也是一条交线, 再延长QE和B1A1的延长线交于点M, 则点M在平面A1B1C1D1和平面ABB1A1的交线上, 连接MF,交A1A于点K,则EK,KF又是两条交线, 同理可以找到QH,HG两条交线, 因此,六边形EKFGHQ就是所求截面. 探究点二 截面经过的三个已知点至少有一点在多面体 的面上,其余点在棱上 【例2】 如图,正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F分别在棱AA1,BC上,G在底面A1B1C1D1内,求过E,F,G的截面. 解 作法:(1)过E,F作辅助面,在平面BCC1B1内,过F作FF1∥BB1,交B1C1于点F1,则平面AFF1A1为所作的辅助面. (2)在平面AFF1A1内,延长F1A1交FE的延长线于点P. (3)在平面A1B1C1D1内,连接PG交A1B1于点M,并延长交B1C1于N. (4)连接ME并延长,与BA延长线交于点Q,连接QF交AD于点H. (5)连接EH,FN,则五边形EHFNM为所求的截面. 变式训练2 如图,棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别为棱B1C1,BB1的中点,点G在A1D上且DG=3GA1,过E,F,G三点的平面α截正方体.作出截面图形并求出截面图形面积. 解 如图,过EF与EF外一点G可求得平面EFNM,交平面AA1D1D于MN, ∵EF∥平面ADD1A1,且平面EFNM∩平面ADD1A1=MN,∴EF∥MN. 探究点三 截面问题 【例3】 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题是真命题的是 ... ...
