(
课件网) 北师大版 数学 选择性必修第一册 课标定位 素养阐释 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项. 3.正确运用二项展开式展开或化简某些二项式,运用通项求某些特定项、二项式系数或项的系数. 4.通过二项式定理的学习,培养逻辑推理素养. 5.通过二项式定理的应用,发展数学运算素养. 自主预习 新知导学 二项式定理 【问题思考】 1.根据多项式的乘法法则,我们容易知道(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,如果称等式的右边为左边的展开式,试回答下列问题: (1)上述两个等式的右边各有几项 每项的次数一样吗 都是几次 提示:(a+b)2的展开式有3项,每项的次数都是2;(a+b)3的展开式有4项,每项的次数都是3. (2)你能用多项式相乘的规律推出(a+b)4的展开式吗 3.(1)若(x+1)n的展开式共有11项,则n等于( ). A.9 B.10 C.11 D.12 (2)(1+2x)5的展开式的第3项的系数为 ,第3项的二项式系数为 . 答案:(1)B (2)40 10 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. × × √ × √ 合作探究 释疑解惑 探究一 二项式定理的正用与逆用 (2)化简:(x-2)5+5(x-2)4+10(x-2)3+10(x-2)2+5(x-2). 分析:(1)可直接用二项式定理展开或先对括号内式子化简再展开. (2)分析式子的结构形式,逆用二项式定理求解. 二项式定理的双向功能 (1)正用:将 (a+b)n展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子,可先化简再用二项式定理展开. (2)逆用:将展开式合并成(a+b)n的形式,即二项式定理从右到左使用是合并,对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律. 探究二 求展开式中的特定项 (1)n的值; (2)展开式中含x3的项,并指出该项的二项式系数. 1.本例条件不变,求二项展开式中的常数项. 2.本例条件不变,求二项展开式中的所有有理项. 1.求(a+b)n的二项展开式的特定项常见题型及处理措施: (1)求第k项, (2)求常数项.对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项); (3)求有理项.对于有理项,一般是根据二项式通项所得到的项,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并二项式通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解; (4)求整式项.求二项展开式中的整式项,其二项式通项中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致. 提醒:在实际求解时,若通项中含有根式,宜把根式化为分数指数幂,以减少计算中的错误. 2.常见问题:求常数项(字母的指数为零),求有理项(对应项字母的指数为整数),求某一项,注意某项的系数与某项的二项式系数的区别. (1)求n的值; (2)求含x2的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项. 探究三 二项式定理的灵活运用 【例3】 (1)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( ). A.10 B.20 C.30 D.60 答案:(1)C (2)D 1.两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析,发现它们各自项的特点. (2)找到构成展开式中特定项的组成部分. (3)分别求解再相乘,求和即得. 2.三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点,转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决),转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合,项与项结合时要注意合理性和简捷性. 【变式训练3】 (1)在(x+y)(x-y)5的展开式中,x3y3的系数是( ). A.-10 B.0 C.10 D.20 (2)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则实数a等于( ). A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 答案:(1)B (2)D 易错辨析 以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何 防范 提示:错解将二项展开式 ... ...
