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课件网) 北师大版 数学 选择性必修第一册 课程标准 1.能根据直线的斜率和在y轴上的截距判断两条直线相交、平行、重合. 2.能利用直线的法向量推导出两条直线平行的条件. 3.能利用直线的法向量推导出两条直线垂直的条件. 4.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 两条直线平行 1.几何方法判断 对于两条不重合的直线l1,l2,倾斜角分别为α1,α2,则 是l1∥l2的充要条件. 对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2(其中b1≠b2),l1∥l2 ;l1与l2相交 . 倾斜角相等(α1=α2) k1=k2 k1≠k2 2.向量方法判断 对于两条不重合的直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0), l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0), 它们的法向量分别是n1=(A1,B1),n2=(A2,B2), (1)l1与l2相交的充要条件是n1与n2不共线,即A1B2≠A2B1. (2)l1与l2平行的充要条件是n1与n2共线,即A1B2=A2B1. 名师点睛 若没有指明l1,l2不重合,则k1=k2 l1∥l2或l1与l2重合.用斜率相等证明三点共线时,常用到这一结论. 思考辨析 对于两条不重合的直线l1,l2,倾斜角分别为α1,α2,倾斜角相等(α1=α2)是l1∥l2的充要条件吗 若l1∥l2,则一定能推出两直线的斜率相等吗 提示 是充要条件.不一定,两直线的斜率可能均不存在. 自主诊断 1.[2024四川成都月考]已知直线l1的斜率为3,直线l2经过点A(1,2),B(2,a),若直线l1∥l2,则a= . 5 2.[人教A版教材习题]判断下列不同的直线l1与l2是否平行. (1)l1的斜率为2,l2经过A(1,2),B(4,8)两点; (2)l1经过P(3,3),Q(-5,3)两点,l2平行于x轴,但不经过P,Q两点; (3)l1经过M(-1,0),N(-5,-2)两点,l2经过R(-4,3),S(0,5)两点. 解 (1)由题意,得直线l2的斜率k2= =2,又因为直线l1的斜率k1=2,所以k1=k2,所以直线l1与直线l2平行. (2)因为l1经过点P(3,3),Q(-5,3),它们的纵坐标相同,所以直线l1平行于x轴.又l2平行于x轴,且不经过P,Q两点,所以直线l1∥l2. 知识点2 两条直线垂直 1.对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1⊥l2 . 2.设直线l1,l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),则l1⊥l2 . 特别适合解决含参数的两直线垂直求参数的问题 k1k2=-1 A1A2+B1B2=0 名师点睛 1.(1)过点(x0,y0)且与直线Ax+By+C=0平行的直线可表示为A(x-x0)+B(y-y0)=0; (2)过点(x0,y0)且与Ax+By+C=0垂直的直线可表示为B(x-x0)-A(y-y0)=0; (3)与直线y=kx+b(k≠0)垂直的所有直线可以表示为y=- x+m; (4)与直线Ax+By+C=0垂直的所有直线可以表示为Bx-Ay+m=0. 2.“两条直线的斜率之积等于-1”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件.因为两条直线垂直时,除了斜率之积等于-1,还可能一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在. 思考辨析 在平面中,直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,m),b=(1,n),当两条直线互相垂直时,可以得出什么结论 提示 mn=-1. 自主诊断 [人教B版教材习题]求下列过点P且与直线l垂直的直线的方程. (1)P(4,-3),l:x+5y-3=0; (2)P(3,-5),l:x+y=0; (3)P(2,3),l:x+y-2=0. 解 (1)5x-y-23=0. (2)x-y-8=0. (3)x-y+1=0. 重难探究·能力素养速提升 探究点一 两条直线平行的判定 【例1】 已知两直线l1:x+my+6=0;l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m为何值时,直线l1与l2:(1)相交;(2)平行;(3)重合. 解 ∵直线l1:x+my+6=0, 直线l2:(m-2)x+3y+2m=0, ∴A1=1,B1=m,C1=6,A2=m-2,B2=3,C2=2m. (1)若l1与l2相交,则A1B2-A2B1≠0,即1×3-m(m-2)≠0,即m2-2m-3≠0,即 (m-3)(m+1)≠0, 即m≠3且m≠-1.故当m≠3且m≠-1时,直线l1与l2相交. 规律方法 判断两条直线是否平行的步骤 变式训练1已知两直线l1:9x-y+a+2=0;l2:ax+(a-2)y+1= ... ...
