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课件网) 2.4.2 直线与圆锥曲线的 综合问题 新授课 1.进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系. 2.掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题. 解：由题意知椭圆C的左焦点F1的坐标为(-1，0)，直线AB的方程为y=-2(x+1). 解方程组 得 例1:如图，已知斜率为-2的直线经过椭圆C: 的左焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求：(1)线段AB的中点M的坐标；(2)|AB|的值. (1)设线段AB的中点M的坐标为(x，y)，则 例1:如图，已知斜率为-2的直线经过椭圆C: 的左焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求：(1)线段AB的中点M的坐标；(2)|AB|的值. ∴线段AB的中点M的坐标为 思考：如果不求出A、B两点的坐标，还能求出|AB|的值吗？ 解法二：由题意知椭圆C的左焦点F1的坐标为(-1，0)，直线AB的方程为y=-2(x+1). 例1:如图，已知斜率为-2的直线经过椭圆C: 的左焦点F，与椭圆相交于A，B两点，求：(1)线段AB的中点M的坐标；(2)|AB|的值. 联立方程组 ① ② 将①代入②，整理得24x2+40x=0，其中 ＞0. 设A,B的坐标为(x1,y1) ,(x2,y2),则 由两点间的距离公式得 归纳总结 求弦长问题的方法: (1)如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公式代入求弦长， (2)有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达定理来处理. 中点坐标公式：若点P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段 P1P2 的中点M的坐标为(x，y)，则： 1.过双曲线 的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点，求|AB|. 设A,B的坐标为(x1,y1),(x2,y2),则 与双曲线方程联立消去y,得5x2+6x-27=0. 解:设直线AB的方程为 由两点间的距离公式得 练一练 例2:已知直线l过椭圆C: 的中心，且交椭圆C于A，B两点，求|AB|的取值范围. 解：(1)当直线l的斜率不存在时(如图1)，直线l:x=0， 代入椭圆方程解得A(0， )，B(0， )，∴|AB|= (2)当直线l的斜率存在时(如图2)，设直线l的方程为y=kx. 将椭圆方程化简、整理，得x2+2y2=4. 将直线和椭圆方程联立，得 ① ② 图1 图2 例2:已知直线l过椭圆C: 的中心，且交椭圆C于A，B两点，求|AB|的取值范围. 将②代入①，化简整理得(2k2+1)x2=4.③ 显然，无论k取何值，方程③都有实数解， 由两点间的距离公式，可得 ④ 图2 例2:已知直线l过椭圆C: 的中心，且交椭圆C于A，B两点，求|AB|的取值范围. 为了便于求|AB|的取值范围，将④进行变形整理，得 ∵4k2+2≥2，由不等式的性质可得 综合(1)和(2)的结果，|AB|的取值范围为[2 ，4]. 图2 归纳总结 当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种： 注意：(1)一定先有判别式大于零，才有两根之和、两根之积. (2)对于斜率不确定的问题，要分类讨论. 思考交流：某同学给出了例2的如下解决方法： 解：考虑到直线l与椭圆C的两个交点A，B是关于中心O对称的， ∴|AB|=2|OA|= ∵点A在椭圆C上，∴xA2+2yA2=4，整理，得xA=4-2yA2. 将其代入上式，消去xA可得|AB|= 由上述函数关系可以求出0≤|AB|≤4. 请对该同学的上述解法进行评价. 此法综合运用的椭圆的中心对称性质，设而不求，优化了整体运算. 但是却没有根据图象，考虑yA的实际范围，故而导致最终取值错误. 归纳总结 反思上述“思考交流”求解解析几何问题的过程， 一方面可以再次感受到数形结合思维方式的作用， 另一方面也可以感受到，还应该在分析图形的基础上对题目中的几何要素进行合理代数化表达. 根据今天所学，回答下列问题： 1.中点坐标公式和弦长公式分别是什么？ 2.求弦长问题通常有哪两种方法？ 3.求解解析几何问题需注意什么？ ... ...
