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课件网) 3.4.2 第1课时 新授课 用向量方法研究立体几何中的位置关系 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与垂直的关系. 2.理解用向量方法证明直线、平面间的平行与垂直的关系不同思路. 思考：平行和垂直是立体几何中主要的位置关系，那么如何用向量方法进行研究呢？ 知识点：用向量方法研究立体几何中的位置关系 思考1：由直线与直线的平行关系, 可以得到这两条直线的方向向量有什么关系呢？ 设l，m分别是直线l，m的方向向量， 使得 l l m m 思考2：由直线与平面的平行关系, 可以得到直线的方向向量与平面的法向量有什么关系呢？ 设l是直线l的方向向量，n1是平面α的法向量， l n1 思考3：由平面与平面的平行关系, 可以得到这两个平面的法向量有什么关系呢？ 设n1，n2分别是平面α，β的法向量， 使得 思考4：如图，根据直线、平面的位置关系，判断直线的方向向量、平面的法向量有什么关系？ l⊥m，n1∥l，n1⊥n2. 设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，用直线的方向向量和平面的法向量表达下列各种位置关系. 几何关系 向量语言 l∥m l∥α α∥β l⊥m l⊥α α⊥β 思路1 若只从直线的方向向量和平面的法向量入手考虑，设向量l是直线l的方向向量，n1是平面α的法向量，则只需证明l⊥n1. 想一想：请从不同角度用向量方法证明l∥α. 思路2 考虑向量与平面平行的定义，以及平面向量基本定理，从而得到：将直线l的方向向量l用平面α的一组基线性表示，此时必有l∥α. 由此可知，运用向量证明几何问题的方法，一方面源于立体几何中定理的向量化表述, 另一方面也需要结合向量自身的特点. 思路3 直接将线面平行的判定定理向量化，找到m α，且直线l与m的方向向量共线. 归纳总结 设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 l∥m或l与m重合 l∥α或 α∥β或α与β重合 1.设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是n，则“a⊥n”是“l∥α”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由l∥α，得a⊥n， 则“a⊥n”是“l∥α”的必要条件， 而a⊥n不一定有l∥α，也可能l α， 则“a⊥n”不是“l∥α”的充分条件. B 练一练 分析：设m是平面α内的任意一条直线.要证明n⊥α，只需证明n⊥m.如何充分运用条件，表达“m是平面α内的任意一条直线”呢？可以考虑将直线m的方向向量用平面α的一组基表示. α n a b m 例1:证明“直线与平面垂直的判定定理”：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 已知：如图，a，b是平面α内的两条相交直线，直线n⊥a，且n⊥b. 求证：n⊥α. 例1:证明“直线与平面垂直的判定定理”：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 已知：如图，a，b是平面α内的两条相交直线，直线n⊥a，且n⊥b. 求证：n⊥α. 证明：设m是平面α内的任意一条直线. α n a b m a，b，m，n依次为直线a，b，m，n的方向向量， ∵直线a，b相交，∴向量a，b不共线. 在平面α内，根据平面向量基本定理可知存在唯一的实数对(x，y)使得m=xa+yb， ∴n·m=xn·a+yn·b. α n a b m ∵n⊥a，且n⊥b， ∴n·a=0，n·b=0， ∴n⊥α. ∴n·m=0，故n⊥m. 例1:证明“直线与平面垂直的判定定理”：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 已知：如图，a，b是平面α内的两条相交直线，直线n⊥a，且n⊥b. 求证：n⊥α. 练一练 2.证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 已知：如图， 求证： 证明：取直线l的方向向量 ... ...
