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课件网) 1.空间向量的有关概念 §2 空间向量与向量运算 知识点 1 空间向量 知识 清单破 名称 定义 空间向量 具有大小和方向的量 长度(模) 表示向量的有向线段的长度 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 零向量和单位向量 模为0的向量和模为1的向量 共线向量(平行向量) 表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合的向量 共面向量 平行于同一平面的向量 提醒 (1)数学中所研究的向量,它的起点和终点可以任意平行移动,被称为自由向量; (2)零向量的方向是任意的,规定零向量与任意向量平行; (3)单位向量不一定相等,但单位向量的模一定相等; (4)方向相同且模相等的向量称为相等向量,因此,在空间中,可用同向且等长的有向线段表示 同一向量或相等向量; (5)空间任意两个向量都为共面向量; (6)一般来说,向量不能比较大小. 2.空间向量的表示 (1)用有向线段表示,如 ,点A叫作向量 的起点,点B叫作向量 的终点. (2)印刷时用a,b,c,…表示,书写时用 , , ,…表示. 知识点 2 空间向量的线性运算 运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 a+b 三角形法则 平行四边形法则 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 减法 a-b 三角形法则 数乘 λa (λ∈R) (1)|λa|=|λ||a|; (2)当λ>0时,λa与a方向相同; 当λ<0时,λa与a方向相反;当λ =0时,λa=0 结合律:λ(μa)=(λμ)a(λ,μ∈R); 分配律:(λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb(λ,μ∈R) 空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ,使得a=λb.通常把这个定理 称为共线向量基本定理.(也称“一维向量基本定理”) 知识点 3 共线向量基本定理 1.两个向量的夹角 已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,作 =a, =b,则∠AOB叫作向量a与b的夹角,记 作
.通常规定0≤≤π. 2.两个向量的数量积 (1)定义 已知两个空间向量a,b,把|a||b|·cos叫作a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos. 知识点 4 空间向量的数量积 (2)结论 (i)cos= (a≠0,b≠0); (ii)|a|= ; (iii)a⊥b a·b=0. (3)运算律 (i)交换律:a·b=b·a; (ii)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c; (iii)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R). 3.投影向量与投影数量 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 =a, =b,过点B作直线OA的垂线,垂足为 B1,称向量 为向量b在向量a方向上的投影向量,其长度等于||b|cos|. 若用a0表示与向量a(a≠0)同方向的单位向量,则向量b在向量a方向上的投影向量为 =|b|cosa0,向量b在向量a方向上的投影数量为|b|cos= =a0·b. 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”. 1.空间中任意两个单位向量必相等. ( ) 2. - =0. ( ) 3.a∥b 存在实数λ∈R,使得a=λb. ( ) 4.若两个非零向量a∥b,则=0.( ) 提示 提示 提示 提示 任意两个单位向量的模相等,方向不一定相同. - =0. b≠0时才成立. =0或=π. 5.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a,b共线的必要不充分条件. ( ) 6.(a·b)c=a(b·c). ( ) 7.向量b在向量a方向上的投影数量非负. ( ) 提示 a·b=|a||b|是a,b共线的充分不必要条件. 向量b在向量a方向上的投影数量是实数,可正,可负,可为0. 提示 1.共线向量基本定理既是判定定理又是性质定理,要灵活应用.可用于证明两条直线平行,进 而证明线面平行,面面平行. 2.用共线向量基本定理证明三点共线.若A,B,C三点不重合,则存在实数λ,使得 =λ A,B, C三点共线. 3.常用结论:P是直线AB外任意一点,A,B,C三点共线的充要条件为 =λ +μ ,且λ+μ=1(λ, μ∈R). 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 共线向量基本定理及其应用 4.拓展认识共面向量: (1)定义:平行于同一平面的向量 ... ... 