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课件网) 1.2 空间向量在立体几何中的应用 知识 清单破 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 1.2.2 空间中的平面与空间向量 知识点 1 空间中点、直线的向量表示及平面的法向量 1.点的位置向量 一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量 唯一确定, 此时, 通常称为点P的位置向量. 2.直线的方向向量 一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在 的直线与l平行或重合,则称v为直线l的一个方向向量.此时,也称向量v与直线l平行,记作v∥l. 3.平面的法向量 (1)平面的法向量的概念:如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的 有向线段所在的直线与平面α垂直,则称n为平面α的一个法向量.此时,也称n与平面α垂直,记 作n⊥α. (2)求平面的法向量的步骤: ①设平面的一个法向量为n=(x,y,z); ②在平面内找两个不共线向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3);(可以利用平面上点的坐标来求向量的 坐标) ③建立方程组 ④解方程组:用一个未知量表示其他两个未知量,然后对用来表示两个未知量的未知量赋予 特殊值(不能取0,赋值时一般尽量保证x,y,z∈Z,这样求得的法向量在后续解题运算中更为简 便),从而得到平面的一个法向量. 知识点 2 空间中线面的位置关系 位置关系 向量表示 线线平行 设u1,u2分别是直线l1,l2的方向向量,则u1∥u2 l1∥l2或l1与l2重合 线面平行 设u是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,则l∥α或l α u⊥n 面面平行 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β或α与β重合 n1∥n2 线线垂直 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2 u1⊥u2 线面垂直 设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α u∥n 面面垂直 设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β n1⊥n2 设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为θ,则θ=
或θ=π-. 特别地,sin θ=sin,cos θ=|cos|. 注意:异面直线所成角的范围为 . 知识点 3 空间中两条直线所成的角 知识点 4 三垂线定理及其逆定理 1.三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂 直.三垂线定理可表述为:设l为平面α的一条斜线,l'是l在平面α内的射影,直线a α,若a⊥l',则a ⊥l. 2.三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂 直.三垂线定理的逆定理可表述为:设l为平面α的一条斜线,l'是l在平面α内的射影,直线a α, 若a⊥l,则a⊥l'. 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” . 1.直线的方向向量是唯一的. ( ) 2.若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反. ( ) √ 3.若直线l⊥平面α,则l的方向向量一定是平面α的法向量. ( ) √ 4.若点A,B在平面α上,且 ∥ ,则直线CD与平面α平行. ( ) 提示 题目未说明直线CD在平面α外,所以有两种可能,直线CD在平面α内或与平面α平行. 5.一条直线若垂直于斜线,则它必垂直于斜线在平面内的射影. ( ) 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 利用空间向量解决平行问题 1.利用空间向量证明线线平行 (1)基底法:用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过线性运算,证明方向向量共线 即可. (2)坐标法:建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量的坐标之间的线性关系进行证明. 2.利用空间向量证明线面平行 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)根据线面平行的判定定理,要证明一条直线和一个平面平行,只需在平面内找一个向量与 已知直线的方向向量是共线向量即可,需要特别说明的是已知直线不在平面内. 3.利用空间向量证明面面平行 ( ... ... 