3.3第2课时　圆周角定理的推论2,3,4 课件(共23张PPT) 2025-2026学年数学青岛版九年级上册

(课件网) 第3章 对圆的进一步认识 九年级上册 3.3 圆周角 第2课时 圆周角定理的推论2，3，4 课前小测 圆周角定理 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半. 圆周角定理的内容是什么？ 2. 圆周角定理推论1的内容是什么？ 推论1　圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半. 情境引入 O A B (1)如下图，在⊙O中，劣弧AB所对的圆心角有多少个？ 劣弧AB所对的圆心角只有一个∠AOB. (2)它所对的圆周角有多少个？它们什么关系呢？ 由此可得：同弧上的圆周角相等. 有无数个. ∵∠ C1， ∠ C2， ∠ C3 的度数都等于 度数的一半， ∴∠ C1 =∠ C2 =∠ C3 . 情境引入 相等的弧所对的圆周角什么关系呢？ 合作探究 探究一：圆周角定理的推论2 右图中如果 ，∠C和∠F相等么？反之，也成立吗？ 分析：∵∠ C的度数都等于 度数的一半， ∠F 的度数都等于 度数的一半， ∴∠ C=∠F ∵ 由此可得：等弧上的圆周角相等 合作探究 探究一：推论2 分析：∵∠ C的度数都等于 度数的一半， ∠F的度数都等于 度数的一半， ∵∠ C=∠F ∴ 由此可得：相等的圆周角所对的弧相等. 归纳小结 推论2 同弧或等弧上的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 注意：由相等的圆周角得到弧相等时，必须在同圆或等圆中才成立. 或∵ ∴∠ C=∠F. ， 几何语言：∵ = ∴∠ C1 =∠ C2 =∠ C3 . 合作探究 探究二：推论3 （1）在⊙O 中，AB是圆的直径， 它所对的圆周角∠ACB 的度数是多少？为什么？ 分析：因为直径AB分⊙O为两个半圆，半圆的度数是180°， 所以∠ACB= . 由此可得：直径所对的圆周角是直角. 合作探究 探究二：推论3 （2）∠ ACB 是⊙O的圆周角，∠ ACB = 90°，那么它所对的弦经过圆心吗？为什么？ 因为∠ACB=90°， 所以它所对的弧的度数是180°. 所以AB为直径. 由此可得：90°的圆周角所对的弦是直径. 归纳小结 推论3 直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径. 几何语言：∵AB是直径，∴∠C=90°. 逆定理：∵∠C=90°，∴AB是直径. 典例分析 [例1] 如下图， AD是△ABC 的高，AE是△ABC 的外接圆直径，点O为 圆心.△ADC与△ABE相似吗？说明理由 解 △ ADC ∽△ ABE . 理由如下： ∵ AE 为⊙ O 的直径，∴ ∠ ABE = 90°. ∵ AD⊥ BC，∴ ∠ ADC = 90°. ∠ ADC = ∠ ABE . ∵ ∠ ACD =∠ AEB， ∴△ ADC ∽△ ABE . 探究二：推论3 同弧或等弧上的圆周角相等是在圆内判断角的相等关系的重要依据. 已知直径通常作直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，反之有直角作直径. 探究三：推论4 典例分析 如下图，像这样，所有顶点都在同一个圆上的多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 在图中，四边形 ABCD 是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形 ABCD 的外接圆. 探究三：推论4 典例分析 问题：∠ A 与∠ C 具有怎样的数量关系？ ∠ B 与∠ D 也具有这样的数量关系吗？ 分析：因为 与 由圆周角定理可知， ∠ A +∠ C = 180° . 同理， ∠ B +∠ D = 180° . 归纳总结：推论4　圆内接四边形的对角互补. 的度数之和为360°， 探究三：推论4 [例2] 典例分析 如下图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BOD = 140°，求∠C的度数. 探究三：推论4 [例3] 典例分析 如下图，△ABC 内接于⊙ O，D，F 分别是 与 上的点， , 连接 AF 并延长交 CB 的延长线于点 E，连接 AD，CD， 求证： ∠ CAD =∠ E . 证明 ∵ ，∴ ∠ BAE =∠ ACD . ∵四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形， ∴ ∠ ABC +∠ D = 180°. ∵ ∠ ABC +∠ ABE = 180°， ∴ ∠ ABE =∠ D ,∴△ CDA ∽△ ABE . ∴ ∠ CAD =∠ E . 拓展 推论4的拓展：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角. E 如图，四边形ABCD内接于⊙O，求证： ... ...