中小学教育资源及组卷应用平台 复数 知识点一 复数的概念 (1)定义：形如的数叫做复数，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部(为虚数单位)． (2)分类： 满足条件 复数的分类 为实数 为虚数 为纯虚数 【例1】已知，若复数是纯虚数，则（ ） A．0 B．2 C．0或 D． 【答案】D 【解析】由复数为纯虚数，得，解得.故选：D. 【例2】下列命题中，正确命题的序号是（ ） ①若，则是纯虚数； ②若且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④两个虚数不能比较大小. A．①③ B．② C．③④ D．④ 【答案】D 【详解】①中，当时，为实数，所以不正确； ②中，由，因为虚数不能比较大小，所以不正确； ③中，由是纯虚数，可得，解得，所以不正确； ④中，由虚数不能比较大小，所以两个虚数不能比较大小是正确的.故选：D. 【例3】已知复数（为虚数单位），求适合下列条件的实数的值； 为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数． 【答案】(1)或；；(2)且；；(3)；(4) 【详解】（1）当为实数时，，解得或； （2）当为虚数时，，解得且； （3）当为纯虚数时，，解得. 变式1（多选题）下列命题中，不正确的是（ ） A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数 C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则 变式2 已知复数（i为虚数单位），求适合下列条件的实数的值； (1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数. 知识点二 复数的加、减、乘、除的运算法则 设，则 (1) (2) (3) i的周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i其中n∈N*，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)． 【例4】若，则复数z的虚部为（ ） A．-5 B．5 C．7 D．-7 【答案】A 【详解】依题意，，故z的虚部为-5，故选：A 【例5】复数（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，因此，.故选：C. 变式3 已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 变式4 _____ 知识点三 复数相等与共轭复数 复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为: （1）当Δ≥0时，x＝； （2）当Δ<0时，x＝. 注：实系数方程的虚数根必共轭成对出现 复数相等： 共轭复数：，则，把称为共轭复数。 共轭复数的运算性质：①；②；③ 【例6】已知，则的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为，所以， 由复数相等的充要条件得，所以.故选：C. 【例7】若复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设复数，则， 则，则，，所以．故选：C. 【例8】复数满足，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由，可得，则，解得， 所以，故选项A，D正确. 当时，，当时，，故选项B正确，选项C错误. 故选：ABD. 变式5 已知复数（其中为虚数单位），则实数_____． 变式6 已知复数 ，且，其中a，b为实数，则（ ） 变式7 若复数满足，则其实部为_____. 【例9】（多选题）若是关于的方程的一个复数根，则（ ） A． B． C．的共轭复数为 D．关于的方程的另一个复数根为 【答案】AB 【详解】是方程的一个复数根，则， 整理得到，故，解得， 对选项A：，正确； 对选项B：，正确； 对选项C：，共轭复数为，错误； 对选项D：，解得或，错误. 故选：AB 变式8 （多选题）在复数范围内关于的实系数一元二次方程的两根为，其中，则（ ） A． B． C． D． 知识点四 复数的模 1.概念：，则，把称为复数的模。 2.运算性质有： ①；②；③；④. 【例10】已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，，， 所以，所以， 所以，所以． 【例11】已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】设，则，则，即， 所以，解得，所以，所以的共轭复数的虚部为，故选：B. 【例12】（多选题）设，是复数，则下列说法中正确的是（ ） A．若 ... ...
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