中小学教育资源及组卷应用平台 外接球与内切球 模型一：墙角，鳖臑，对棱相等的三棱锥外接球--补全长方体模型 墙角，鳖臑等模型，计算公式： 对棱相等模型方法：对棱相等的三棱锥分别为 m、n、k 可以补到长方体中边长为a、b、c 中，则如图可以推导： 公式为： 【例1】如图，已知球O的球面上有四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于 ． 【答案】 【详解】如图，以DA、AB、BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝，所以R＝，故球O的体积V＝. 【例2】四面体中，，，，则四面体外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可采用割补法，考虑到四面体的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以为三边的三角形作为底面， 且分别以为长，两两垂直的侧棱的三棱锥， 从而可得到一个长、宽、高分别为的长方体， 并且， 设球半径为，则有，∴，∴球的表面积为． 故选:A． 变式1 在三棱锥A—BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面积分别为、、．则三棱锥A—BCD的外接球的体积为 A． B． D． 【答案】A 【详解】由已知三棱锥的外接球是长为，宽为，高为的长方体的外接球，由长方体对角线长为，得外接球半径为，故所求球体体积为． 模型二：圆柱/直棱柱的外接球--圆柱模型 方法：直棱柱或圆柱外接球的球心位于上下底面外接圆的圆心连线的中点为球心。由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径. 立着放的模型 躺着放的模型 公式： 【例3】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,则此球的表面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得BC=2 由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2， 设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径R=， 故此球的表面积为4πR2=20π 故选A． 模型三：一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球--等同圆柱模型 方法：一条侧棱垂直于底面棱锥的球心位于过底面外接圆的圆心作 垂线长为侧棱长一半的点球心。 公式：，其中垂直于底面的侧棱长；被垂直的三角形所在外接圆半径； 【例4】已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，且平面，，，，则球O的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为平面BCD，所以，，∴， 在中，，∴，∴. 如图所示：三棱锥的外接球即为长方体AGFH-BCED的外接球， 设球O的半径为R，则，解得，所以球O的表面积为， 故选：A. 变式2 已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为（ ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】C 【详解】在直三棱柱中，所以为直角三角形， 则外接圆的圆心为斜边的中点，同理外接圆的圆心为斜边的中点，如图， 直三棱柱外接球的直径为，外接球的半径， 设上下底面的中心分别为，，连接，则外接球的球心为的中点， 连接，则，设，所以，则， 在中，，则， 该棱柱的体积． 当且仅当，即时等号成立． 故选：C． 模型四：圆锥/正棱锥的外接球--圆锥模型 特点：侧棱均相等（AB=AC=AD）--圆锥模型。 圆锥 三棱锥补成圆锥 三棱锥的外接球 方法：在正棱锥（或圆锥）中， R为外接球半径； h为正棱锥（或圆锥）的高；r为底面外接圆半径，为侧棱的侧棱长度（圆锥的母线长）且满足， 公式： 或者，或者，特别是正四面体，为棱长。 【例5】 在三棱锥中，，且，则该三棱锥外接球的表面积为_____. 【详解】设顶点在底面中的射影为，由于，所以，即点是底面的外心，又，所以为的中点， 因为，所以， 设外接球的球心为，半径为，则必在上，， 在中，，解得，所以. 【例6】 校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三 ... ...
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