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课件网) 苏教版2019高二数学（选修一）第三章 圆锥曲线与方程 3.2.2 双曲线的几何性质 学习目标 1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点) 2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点) 类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线的哪些几何性质 如何研究这些性质 x F1 F2 y O M(x,y) F1 F2 O x y A1 A2 B1 B2 新知探究 关于原点对称 2.对称性 在双曲线的标准方程中,分别把x换成一x,或把y换成一y,或同时把x，y分别换成-x，-y,方程都不变,所以双曲线分别关于 y轴、z轴和原点都是对称的.这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫作双曲线的中心 3.顶点 双曲线与x轴的交点为A1(-a，0)和A2(a，0)，它们叫做双曲线的顶点. 双曲线与y轴没有交点，但我们仍把B1(0，-b)和B2(0，b)画在y轴上. 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做双曲线的实半轴长； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长. x O A1 y A2 B1 B2 F2 F1 4.渐近线 双曲线的两支向外延伸时，与矩形的两条对角线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线. 如图，直线x= a和直线y= b 围成了一个矩形，矩形的两条对角线的方程是什么？ x O A1 y A2 B1 B2 F2 F1 在方程 中，如果a=b，那么双曲线的方程为x2-y2=a2，它的实轴和虚轴的长都等于2a. 这时，四条直线x =±a，y =±b围成正方形，渐近线方程为 y=±x ，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. 与椭圆类似，双曲线的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，因为c>a>0，所以双曲线的离心率 椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征 用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗 它与用离心率刻画“张口”大小有什么联系和区别 5.离心率 课本例题 课本例题 课本练习 课本练习 A 故选：A． 课本练习 课本练习 课本练习 易错警示 求双曲线的离心率 错解分析：错误的根本原因是误以为焦点只能在x轴上，造成失解．实际上本题应该有两种情况． 防范措施：条件考虑要全面由渐近线不能确定焦点是在x轴上，还是在y轴上，因此需要分两种情况讨论．在求解圆锥曲线问题时，既要分析定量条件，又要分析定位条件，以免造成失解、错解. 题型一：由双曲线的标准方程研究其几何性质 典例剖析 归纳总结 题型二：利用几何性质求双曲线的标准方程 典例剖析 例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程. (2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； 典例剖析 典例剖析 求双曲线标准方程的方法与技巧 1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式. 2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧： (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式. 归纳总结 归纳总结 题型三：双曲线的离心率及其应用 典例剖析 归纳总结 【答案】A 随堂检测 【答案】 AD 6. (2023阳山南阳中学月考)求适合下列条件的双曲线的标准方程： 1. 根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2) 以双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程可设为 (1) 渐近线方程为 的双曲线方程可设为 2. 巧设双曲线方程的技巧 课堂小结 ... ...
