湘教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3.2.2第1课时双曲线的简单几何性质课件(共52张PPT)+学案

3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 学习目标 1.掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等简单的几何性质，培养直观想象、数学运算的核心素养. 2.理解双曲线离心率的定义、取值范围，能利用双曲线的简单几何性质求标准方程，提升数学运算的核心素养. 任务一　双曲线的几何性质 问题.类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的几何性质. 提示：1.范围 利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1， 于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R， 所以x≥a 或x≤－a； y∈R. 2.对称性 －＝1(a＞0，b＞0)关于x轴、y轴和原点都对称. x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫作双曲线的中心. 3.顶点 (1)双曲线与对称轴的交点，叫作双曲线的顶点 . 顶点是A1(－a，0)，A2(a，0)，只有两个. (2)如图，线段A1A2 叫作双曲线的实轴，它的长为2a，a叫作实半轴长；线段B1B2 叫作双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫作双曲线的虚半轴长. (3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线. 方程为x2－y2＝m(m≠0). 4.渐近线 双曲线在第一象限内部分的方程为y＝， 它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方. 它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近. (1)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x. (2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图. 5.离心率 (1)定义：e＝. (2)e的范围：e＞1. (3)e的含义：因为c＞a＞0，所以可以看出e＞1，另外，注意到＝＝＝，说明越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄. 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝ 1(a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 解：将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，即－＝1， 所以a＝3，b＝2，c＝. 因此顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)， 焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝， 渐近线方程为y＝±x＝±x. [变式探究] 若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 解：把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程为－＝1(m＞0，n＞0)， 由此可知，实半轴长a＝， 虚半轴长b＝，c＝， 焦点坐标为(，0)，(－，0)， 离心率e＝＝＝ ， 顶点坐标为(－，0)，(，0)， 所以渐近线方程为y＝± x，即y＝±x. 由双曲线的方程研究其几何性质 1.把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键. 2.由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值. 3.由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质. 对点练1.求双曲线25y2－16x2＝400的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 解：把方程25y2－16x2＝400化为标准方程为－＝1. 由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝5； c＝＝＝， 焦点坐标是(0，－)，(0，)； 离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x. 任务二　由双曲线的几何性质求标准方程 求满足下列条件的双曲线的方程： (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)； (2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3). 解：(1)设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0). 因为e＝，所以e2＝＝＝1＋＝，所以＝. 由题意得 所以所求的双曲线方程为－＝1. (2)由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)， 因为A(2，－3)在双曲线上，所以 ... ...