湘教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3.1.1椭圆的标准方程课件(共64张PPT)+学案

3.1　椭圆 3.1.1　椭圆的标准方程 学习目标 1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，培养数学抽象的核心素养. 2.掌握椭圆的定义和标准方程，提升逻辑推理的核心素养. 3.会求椭圆的标准方程，提升数学运算的核心素养. 任务一　椭圆的定义及标准方程 问题1.取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 提示：椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 问题2.观察椭圆的形状，你认为怎样建立平面直角坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ 提示：观察可以发现椭圆具有对称性，而且过两焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，此时，椭圆的焦点分别为F1(－c，0)和F2(c，0). 根据椭圆的定义，设M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M｜｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a}.因为｜MF1｜＝，｜MF2｜＝， 所以＋＝2a.① 为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得＝2a－.② 对方程②两边平方，得 (x＋c)2＋y2＝4a2 －4a＋(x－c)2＋y2， 整理，得a2－cx＝a，③ 对方程③两边平方，得 a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2， 整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④ 将方程④两边同除以a2(a2－c2)， 得＋＝1，⑤ 由椭圆的定义可知2a＞2c＞0 ，即a＞c＞0， 所以a2－c2＞0. 令b＝，那么方程⑤就是＋＝1(a＞b＞0).⑥ 我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程. 问题3.如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 提示：＋＝1(a＞b＞0). 1.椭圆的定义 平面上到与两个定点F1，F2的距离之和为常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点之间的距离｜F1F2｜叫作焦距. 2.椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 焦点 坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c 的关系 c2＝a2－b2 (多选)平面上，动点M满足以下条件，其中M的轨迹为椭圆的是(　　) A.M到两定点，的距离之和为4 B.M到两定点，的距离之和为6 C.M到两定点，的距离之和为6 D.M到两定点，的距离之和为8 答案：BD 解析：因为两定点，的距离为4＜6，所以选项A不符合椭圆定义，选项B符合椭圆定义；因为两定点，的距离为6＜8，所以选项C不符合椭圆定义，选项D符合.故选BD. 　　在椭圆定义中，要求常数必须大于两定点F1，F2之间的距离，这是椭圆定义中非常重要的一个条件，可以验证：如果这个常数等于两定点F1，F2之间的距离，动点的轨迹将是一条线段；如果这个常数小于两定点F1，F2之间的距离，动点的轨迹将不存在.因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这一隐含的条件. 对点练1.(1)设P(x，y)满足＋＝10，则P点的轨迹为(　　) A.圆 B.椭圆 C.线段 D.不存在 (2)平面内一点M到两定点F1，F2 的距离之和等于12，则点M的轨迹是　　　　. 答案：(1)B　(2)线段F1F2 解析：(1)因为＋＝10表示P(x，y)到定点F1，F2的距离之和为10，即＋＝10＞＝8，所以P点的轨迹为椭圆.故选B. (2)由题意知＋＝12，且＝12，故＋＝＝12， 所以点M的轨迹是线段F1F2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点； (3) ... ...