中小学教育资源及组卷应用平台 专题02 对数及对数函数 题型一：指数式与对数式互化及其应用 题型二：换底公式的运用 题型三：对数函数的定义域、值域及解析式 题型四：对数型函数过定点问题 题型五：对数函数性质的综合应用 题型六：反函数 题型一：指数式与对数式互化及其应用 1．若，，则（ ） A．10 B．20 C．50 D．100 【答案】B 【详解】因为，又因为可得, 所以. 故选：B. 2．生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 3．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似满足关系（其中、为正常数），经过个月，这种垃圾的分解率为，经过个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，可得，解得，则， 这种垃圾完全分解，即分解率为，即，所以， 所以，则． 故选：B. 4．素数也叫质数，部分素数可写成“（为素数”的形式，法国数学家马林梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“为素数”形式的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为，第19个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（ ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意， 又，所以， 从而对比各个选项可知，各数中与最接近的数为. 故选：B. 5．把物体放在冷空气中冷却，如果物体初始温度为，空气的温度为，那么小时后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的冷却系数.现有、两个物体放在空气中冷却，已知两物体的初始温度相同，冷却小时后，、两个物体的温度分别为、，假设、两个物体的冷却系数分别为、，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，则， 两式相除可得，所以，，即. 故选：A. 6．已知，则（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】设，则， ∵，即，整理得， 注意到，则， 解得，即. 故选：D. 7．已知不等式对任意上恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 令，，当且仅当，即时取等号， 因此当时，取得最小值4，则， 所以实数m的取值范围是. 故选：C 8．已知a是方程的解，b是方程的解，则为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】因为是方程的解，所以， 令，则有， 所以，① 因为b是方程的解，所以，即，② 设，易知在R是单调递增， 由①②得，，所以， 代入得，， 故选：C 9．已知函数为奇函数． (1)求实数a的值并指出函数的单调性（不需证明）； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)；函数在上单调递增 (2)答案见解析 【详解】（1）因为函数为奇函数，定义域为， 所以， 此时，，满足题意， 函数在上单调递增， 因为在单调递增，在上单调递减，上单调递增， 所以在上单调递增. （2）由（1）可得函数在上单调递增， 所以， 即， 令，即，即， 当时，，即，因为恒成立，所以解得， 当时，，即，解得； 当时，，解集为空集； 当时，，即，解得； 综上，当时, 不等式的解集为; 当时，不等式的解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 10．已知二次函数在上单调递减，在上单调递增，且的最小值为，的图象过点. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)讨论在上的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）二次函数在上单调递减，在上单调递增，且的最小值为， 依 ... ...
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