§3 抛物线 3.1 抛物线及其标准方程 学习目标 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，培养数学抽象、直观想象的核心素养. 2.掌握抛物线定义的应用，体会数形结合思想和提升直观想象的核心素养. 3.会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题，提升数学运算的核心素养. 任务一 抛物线的定义 问题1.如图所示，先将一把直尺固定在画板上，再把一个三角板的一条直角边紧靠在直尺的边缘(记作直线l)，然后取一根细绳，它的长度与另一条直角边AB相等，细绳的一端固定在三角板顶点A处，另一端固定在画板上的点F处.用铅笔尖(记作点P)扣紧绳子，并靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，可以发现铅笔尖就在画板上描出了一段曲线，即点P的轨迹.你能发现点P满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？ 提示：点P运动的过程中，始终有｜PF｜＝｜PB｜，即点P与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点P的轨迹形状与二次函数的图象相似. 抛物线的定义 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线 焦点 定点F叫作抛物线的焦点 准线 定直线l叫作抛物线的准线 集合表示 P＝{M｜｜MF｜＝d}，d为点M到直线l的距离 [微提醒] (1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1).(2)若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线. (1)在平面直角坐标系内，到点A(1，1)和直线y＝1的距离相等的点的轨迹是( ) A.直线 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线 (2)已知动点M(x，y)的坐标满足方程5＝，则动点M的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对 答案：(1)A (2)C 解析：(1)设到点A(1，1)和直线y＝1的距离相等的点为P(x，y)，由题意得＝，两边平方化简得(x－1)2＝0，即x＝1，即到点A(1，1)和直线y＝1的距离相等的点的轨迹方程为x＝1，为一条直线.故选A. (2)等式5＝＝，因此该等式表示动点M(x，y)到原点O(0，0)的距离等于到定直线3x＋4y－12＝0的距离，而直线3x＋4y－12＝0不过原点O(0，0)，所以动点M的轨迹是抛物线.故选C. 利用抛物线的定义处理与之相关的轨迹或轨迹方程问题，处理过程中要注意定点是否在定直线上. 对点练1.设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝－2相切，则圆C的圆心的轨迹为( ) A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 答案：A 解析：设C的坐标为(x，y)，圆C的半径为r，圆x2＋(y－3)2＝1的圆心为A.因为圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝－2相切，所以｜CA｜＝r＋1，C到直线y＝－2的距离d＝r，所以｜CA｜＝d＋1，即动点C到定点A的距离等于到定直线y＝－3的距离，由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线.故选A. 任务二 抛物线的标准方程 问题2.类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立平面直角坐标系，使所建立的抛物线的方程简单？ 提示：我们取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与准线l相交于点K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 设抛物线的焦点到准线的距离为p(p＞0)，则｜KF｜＝p(p＞0)，焦点F，准线l的方程为x＝－.设点M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义可知，抛物线上的点M满足｜MF｜＝d.因为｜MF｜＝，d＝，所以＝，将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p＞0). 抛物线的标准方程 图形 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 焦点坐标 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ [微提醒] (1)p的几何意义是焦点到准线的距离.(2)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)及其系数的符号.(3)解题时首先把方程化为标准方程. 角度1 求抛物线的标准方程 (链教材P70例1)根据下 ... ...
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