北师大版高中数学选择性必修第一册第二章圆锥曲线4.2直线与圆锥曲线的综合问题课件(共72张PPT)+学案

4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 学习目标 1.进一步掌握直线与圆锥曲线的位置关系，培养直观想象、数学运算的核心素养.　2.掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题，提升数学运算的核心素养.　3.会解决与圆锥曲线有关的焦点弦、中点弦问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 任务一　弦长公式 问题1.已知直线l：y＝kx＋m上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何表示线段AB的长度？ 提示：｜AB｜＝＝｜x1－x2｜＝. 当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种： (1)｜AB｜＝｜x1－x2｜； (2)｜AB｜＝｜y1－y2｜(k≠0)； (3)｜AB｜＝； (4)｜AB｜＝(k≠0). [微提醒]　(1)对于弦长问题，一定先有判别式大于零，才有两根之和、两根之积.(2)对于斜率不确定的问题，要分类讨论.(3)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦AB，弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p.(4)椭圆、双曲线的通径为. 已知椭圆C：x2＋＝1，过点M(0，3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，若｜AB｜＜，试求直线l斜率的取值范围. 解：当直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为x＝0， 代入椭圆C的方程得A(0，2)，B(0，－2)，所以｜AB｜＝4，不满足｜AB｜＜，此时直线l：x＝0不符合题意. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3， 将直线和椭圆方程联立，得 化简、整理，得(4＋k2)x2＋6kx＋5＝0， 此时Δ＝(6k)2－20(4＋k2)＞0，即k2＞5.① 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根， 则x1＋x2＝，x1·x2＝， 因为｜AB｜＝＜， 所以·＜， 解得－＜k2＜8，② 由①②知5＜k2＜8. 所以－2＜k＜－＜k＜2. 所以直线l斜率的取值范围为(－2，－)∪(，2). 1.求弦长的两种方法 (1)求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解. (2)结合根与系数的关系，利用弦长公式｜AB｜＝，或｜AB｜＝(k≠0)求解. 2.已知弦长求参数值，关键是利用弦长公式，得到关于参数的方程，注意求得结果要验证是否满足判别式大于0. 对点练1.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，求｜AB｜. 解：(1)因为双曲线C的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点， 所以 所以双曲线C的标准方程为－＝1. (2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3，0)，所以直线l的方程为y＝(x－3). 由得5x2＋6x－27＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－， 所以｜AB｜＝＝×＝. (或由5x2＋6x－27＝0，得x＝－3或，则｜AB｜＝×＝.) 任务二　中点弦问题 问题2.已知椭圆的方程为＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，直线与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，弦AB的中点为M(x0，y0)，你能求出kOM·kAB的值吗？ 提示：将A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程得将两式作差并整理得 ＋＝0， 由弦AB的中点为M(x0，y0)，若x1≠x2，则＝－，即·＝－，从而kAB·＝－，即kAB·kOM＝－. 点差法：设出弦的两端点坐标后，代入椭圆的方程，将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就联系了中点坐标和直线的斜率. (一题多解)已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，求直线AB的方程. 解：法一：易知直线AB的斜率k存在， 设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)， 联立直线与椭圆的方程，得方程组 化简、整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，Δ＞0. 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根， 于是x1＋x2＝. 又M为AB的中点， 所以＝＝2，解得k＝－. 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 经检验，所求直线满足题意. 法二：设点A(x1，y1)，B(x2，y2). 因为M(2，1)为AB的中点， 所以x1＋x2＝4，y1＋y2 ... ...