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课件网) 3.3垂径定理（2） 定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ●O A B C D M└ CD⊥AB, 如图∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 条件 ①CD为直径 ②CD⊥AB ⑤CD平分弧ADB ③CD平分弦AB ④CD平分弧AB 结论 垂径定理的逆命题是什么？ 条件 结论1 结论2 逆命题1：平分弦的直径垂直于弦。 逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 在⊙O内任取一点M,请你折出一条弦AB，使AB经过点M，并且AM=BM. 你能说说这样找的理由？ 巧手来做一做 ●O ●M 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 条件 结论1 结论2 逆命题1：平分弦的直径垂直于弦． 逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦． 垂径定理的逆命题是什么？ 过点C作直径CD． 右图是轴对称图形吗？ 如果是，其对称轴是什么？ 你能发现图中有哪些等量关系？ 说说你的想法和理由． 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． AB是O的一条弧，且AC=BC. 探索规律 CD⊥AB AM=BM AD=BD CD是直径 AC=BC C D O M A B ┗ ⌒ ⌒ 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. ① CD是直径, ③ AM=BM, ② CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 如图, 对于一个圆和一条直线来说,如果在下列五个条件中: （3） （1） （2） （4） （5） （1） （4） （5） （1） （4） （3） （2） （5） （1） （5） （3） （4） （2） （2） （3） ●O A B C D M└ 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 逆定理 定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦. 垂径定理 已知：⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点E，且AE=BE． 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC 证明：连结OA，OB，则OA=OB ∴△AOB是等腰三角形 ∵AE=BE ∴CD⊥AB （等腰三角形三线合一） ∴ AD=BD，AC=BC 定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 平分弧的直径垂直于弧所对的弦. 已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AC=BC 求证：CD⊥AB ⌒ ⌒ 证明：连结OA，OB，则AO=BO ∴△AOB是等腰三角形 ∵AC=BC ⌒ ⌒ ∴∠AOC=∠BOC ∴CD⊥AB 定理2 新知讲解 例3 赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为 37.02 m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m, 求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m). OD=OC-DC=（R-7.23）(m). 在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2 ∴R2=18.512+(R-7.23)2, 解得R≈27.31. 答:赵州桥的桥拱圆弧的半径约为27.31m. AB=37.02m,CD=7.23m, 解：如图，用AB表示桥拱圆弧，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R，C为AB的中点，连结OC，交AB于点D，就有OC垂直平分AB， 所以CD就是拱高.由题意，得 课堂练习 1.判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ） ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ） ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ） ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（ ） ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（ ） √ √ 10 3．如图，⊙O的半径为5，C是弧AB的中点，且BC＝4 那么BA＝ cm． 4.某一公路隧道的形状如图所示，半圆拱的圆心距离地面2m，半径为1.5m.一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道吗 如果要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车也能顺利通过这个隧道，且不改变圆心到地面的距离，半圆拱的半径至少为多少米 O B A 解 如图，OB＝1.5，OA＝1.15， ∵ AB2=OB2-OA2， ∴ AB≈0.96m. ∵ 0.96+2＝2.96＜3, ∴高为3m，宽为2.3m的集装箱 车不能顺利通过. 由题意,若OA＝1.15,AB＝4-2＝2, 又∵A ... ...
