人教A版高中数学必修第二册基础练习作业 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 一、单选题 复数是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 复数经过次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则的值等于（ ） A. 3 B. 12 C. D. 若复数，则=（ ） A.1 B. C. D. 设复数满足，则=（ ） A. B. 2 C. D. 4 复数，的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时，在复平面上以，，三点为顶点的图形是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 二、多选题 设，是复数，，，则可能为（ ） A. B. C. D. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥。依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 已知复数，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 若，且，则 三、填空题 乘法运算法则 设，，则 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的，积的辐角等于各复数的辐角的_____。 除法运算法则 设，，且，则_____。 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的_____。 四、解答题 将复数，表示成三角形式，其中，，，是复数的模，是复数的辐角。 (1)求方程的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根； (2)已知，，试推导复数的三角形式； (3)在单位圆的内接六边形中，，，，分别为，，的中点，判断的形状并证明。 计算： (1)； (2)。 一、单选题 答案：D 解析：已知是方程的根，则。根据复数三角形式的乘方公式，可得，所以 。 答案：C 解析：复数的共轭复数为。由，可得，解得 。 答案：B 解析：先将化简，。根据复数模的计算公式（），可得 。 答案：A 解析：由，得。再根据复数模的计算公式， 。 答案：C 解析：因为，所以，。，又，则，当时，取最大值。当时，，，，， ，满足且 ，所以以，，三点为顶点的图形是等腰直角三角形 。 二、多选题 答案：ABC 解析：根据复数辐角的性质，设，与相差，且 。当时，；当时，；当时，（等价于 ），所以可能为， ， 。 答案：ABD 解析： A选项：，正确。 B选项：，正确。 C选项：，因为 ，， ，所以在复平面内对应的点位于第三象限，错误。 D选项：，， ，所以，正确。 答案：BCD 解析： A选项：设，， ，，错误。 B选项：设，，，， ，所以，正确。 C选项：根据复数模的乘法性质， ，正确。 D选项：由，且，两边同时除以，可得，正确。 三、填空题 答案：；积；和 答案：；商；差 四、解答题 11. (1)解：由，得 。根据复数开方公式（为开方次数， ），这里，， ，则， 。当时，；当时，；当时， 。虚部大于零的根为 。 (2)解：，根据两角和的余弦公式 ，两角和的正弦公式 ，可得 。 (3)解：是等边三角形。证明如下：设单位圆的圆心为原点，以为坐标原点建立复平面。因为 ，所以 。设，，，，， 。根据中点对应的复数是两端点复数和的一半，可得，， 。计算（通过复数模的计算），所以是等边三角形 。 12. (1)解：根据复数三角形式的乘法法则 ，这里，，， ，则 。 (2)解：根据复数三角形式的除法法则 ，这里，，， ，则 。 ... ...
