7.1.2 复数的几何意义 7.1 复数的概念 复平面 复数的几何意义 复数的模 小结及随堂练习 情景导入 我们知道，实数与数轴上的点一一对应， 因此实数可以用数轴上的点来表示． 复数有什么几何意义呢？ 复平面 01 探索新知 因为任何一个复数????=????+????????都可以由一个有序数对(????,????)唯一确定， 并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对， 所以复数????=????+????????与有序数对(????,????)是一一对应的. 而有序数对(????,????)与平面直角坐标系中的点是一一对应的， 所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. ? 思考1：根据复数相等的定义，任何一个复数????=????+????????都可以由一个有序实数 对????,????唯一确定；反之也对． 由此你能想到复数的几何表示方法吗？ ? 复平面 ???? ? 学习新知 ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ????:????+???????? ? 如图，点????的横坐标是????，纵坐标是????，复数????=????+????????可用点????(????,????)表示. 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，????轴叫做实轴，????轴叫做虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. ? 复平面 ???? ? 虚轴 ???? ? 实轴 例如，复平面内的原点(????,????)表示实数????，实轴上的点(????,????)表示实数????， 虚轴上的点(????,?????)表示纯虚数?????，点(?????,????)表示复数?????+????????等. ? 复数的几何意义 02 学习新知 复数的几何意义———与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应； 反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应. 由此可知，复数集????中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系。 ? 复数????=????+???????? 复平面内的点????(????,????). ? 一一对应 这是复数的一种几何意义． 思考2：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示， 而有序实数对与复数是一一对应的.你能用平面向量来表示复数吗？ 学习新知 复数的几何意义———与向量对应 如图，设复平面内的点表示复数，连接，显然向量由点唯一确定； 反过来，点也可以由向量唯一确定. 因此，复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下的一一对应关系(实数0与零向量对应)，即 复数????=????+???????? 平面向量????????. ? 一一对应 这是复数的另一种几何意义． ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ????:????+???????? ? 为方便起见，我们常把复数????=????+????????说成点????或说成向量?????????， 并且规定，相等的向量表示同一个复数. ? 应用新知 例1. (????)写出图1中的各点表示的复数； ???????????(????)在复平面内，作出表示下列复数的点和向量： ?????????、????+????、????、????、?????????????、?????+???????? ? 解： ????????,????、????(????,????)、????(?????,????) 、????(?????,?????) ? 应用新知 例2. (????)下列命题中的假命题是（ ） A.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上 B.在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上 C.在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数 D.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数 ? ???? ? (????)“????=????”是“复数????=????+????????(????,????∈????)所对应点在虚轴上”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ? ???? ? 应用新知 例3. 已知复数????=????????+?????????+????????+?????????????在复平面内所对应的点位于 第二象限，求实数????的取值范围。 ? 解： 依题意有????????+?????????????， 解得?????????????
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