中小学教育资源及组卷应用平台 第七章 复数（10题型清单） 知识点1：复数的概念 （1）复数的概念 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集. 复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部. （2）复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 知识点2：复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 知识点3：复数的几何意义 （1）复数的几何意义———与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义———与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 知识点4：复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 知识点5：共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. 知识点6：复数代数形式的加法运算及其几何意义 （1）复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： 显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数 （2）复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即： ，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 知识点7：复数代数形式的减法运算及其几何意义 （1）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 注意：①两个复数的差是一个确定的复数； ②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. （2）复数减法的几何意义 复数 向量 知识点8：()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 知识点9：复数代数形式的乘、除法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 知识点10：共轭复数的性质 设，（） ①；②为实数；③且为纯虚数 ④；⑤，， 题型一 复数的有关概念 例题1：（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 例题2：（多选）（2024高一·全国·专题练习）已知i为虚数单位，下列命题正确的是（ ） A．若C，则的充要条件是 B．(R)是纯虚数 C．没有平方根 D．当时，复数是纯虚数 例题3：（2024高一·全国·专题练习）是否存在实数，使是纯虚数？ 巩固训练 1．（24-25高一下·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（ ） A．4 B． C．6 D．或6 2．（24-25高二上·上海·期中）已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（ ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数是实数，则实数a的值为 . 题型二 复数的相等 例题1：（24-25高三上·北京西城·期末）设为虚数单位，，且，则（ ） A． B． C． D． 例题2：（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）设是虚数单位， ，且，则＝ . 例题3：（23-24高一下·河南开封·期末）已知复数，，且，则λ的取值范围是 ． 巩固训练 1．（2024高一·全国·专题练习）已知复数，当时，（ ） A．－1 B．0 C．1 ... ...
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