5.2实际问题中的函数模型 学案（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

5.2实际问题中的函数模型 学习目标 1.通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养． 2.通过建立数学模型解决实际问题，培养数据分析、数学运算素养． 二、学习重难点 重点：会利用已知函数模型解决实际问题． 难点：能建立函数模型解决实际问题． 三、自主预习、知识梳理 1．常见的函数模型 (1)正比例函数模型：f (x)＝_____(k为常数，k≠0)； (2)反比例函数模型：f (x)＝_____(k为常数，k≠0)； (3)一次函数模型：f (x)＝_____(k，b为常数，k≠0)； (4)二次函数模型：f (x)＝_____(a，b，c为常数，a≠0)； (5)指数函数模型：f (x)＝_____(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)； (6)对数函数模型：f (x)＝_____(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)； (7)幂函数模型：f (x)＝_____(a，b，n为常数，a≠0，n≠1). 2．应用函数模型解决问题的基本过程 用函数模型解应用题的四个步骤： (1)审题———弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； (2)建模———将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； (3)求模———求解数学模型，得出数学模型； (4)还原———将数学结论还原为实际问题． 四、应用举例 例1: 某国年至年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 x(年) 0 1 2 3 生产总值(万亿元) 8.206 7 8.944 2 9.593 3 10.239 8 (1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式； (2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较； (3)利用关系式预测年该国的国内生产总值． 解：(1)根据表中数据画出函数图形，如图所示．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为． 把直线通过的两点和代入上式，解方程组，可得，． 所以它的一个函数关系式为． (2)由(1)中得到的关系式为，计算出年和年的国内生产总值分别为 ， ． 与实际的生产总值相比，误差不超过万亿元． (3)年，即，由上述关系式，得，即预测年该国的国内生产总值约为万亿元． 例2： 如图1是某公共汽车线路收支差额元与乘客量的图象． 图1 图2 图3 (1)试说明图上点、点以及射线上的点的实际意义； (2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？ (3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图、图、图中的票价分别是多少元？ 解：(1)点表示无人乘车时收支差额为元，点表示有人乘车时收支差额为元，线段上的点表示亏损，延长线上的点表示盈利． (2)图的建议是降低成本，票价不变，图的建议是提高票价． (3)斜率表示票价． (4)图、中的票价是元，图中的票价是元． 例3：要建造一段的高速公路，工程队需要把人分成两组，一组完成一段的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的的硬土地带公路的建造任务．据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是人·天和人·天．问：如何安排两组的人数，才能使全队筑路工期最短？ 解：设在软土地带工作的人数为人，则在硬土地带工作的人数为人． 根据题意，在软土地带筑路时间为， 在硬土地带筑路时间为， 其中，． 因为函数在区间上是减函数，函数在区间上是增函数， 所以全队筑路工期为： 由，即，得．从而 ． 因为函数在区间上递减，在区间上递增，所以是函数的最小值点．但不是整数，于是计算和，其中较小者即为所求． 经计算，，． 于是，当安排人到软土地带工作，人到硬土地带工作时，可以使全队筑路工期最短． 例4：某公司每年需要某种计算机元件个，每次购买元件需手续费元，每个元件的库存费是每年元．若将这些元件一次购进，则可少花手续费，但即便不考虑资金占用，个元件的库存费也不少，若多 ... ...