7.3 复数的三角表示（课件 学案 练习）高中数学 人教A版（2019）必修 第二册

7.3*　复数的三角表示 [学习目标]　1．了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系． 2．了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义． [讨论交流]　预习教材P83－P88的内容，思考以下问题： 问题1．复数的三角形式是什么？辐角、辐角的主值是如何定义的？ 问题2．复数乘法、除法的三角表示及其几何意义分别是什么？ [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　复数的三角表示式 探究问题1　回顾三角函数的定义，如图，角θ的终边上一点P(x，y)，设P到原点O的距离|OP|＝r，那么怎样用角θ和r表示x，y _____ _____ 探究问题2　如图所示，复数与向量一一对应，复数由向量的坐标唯一确定．我们知道向量也可以由它的大小和方向唯一确定，那么 (1)向量的大小如何表示？ (2)向量的方向如何表示？ _____ _____ 探究问题3　根据探究问题2，思考如何用复平面内向量的大小和方向去表示复数z＝a＋bi(a，b∈R) _____ _____ [新知生成] 1．定义：任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成_____的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的_____．_____叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式． 2．辐角的主值：规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg z，即0≤arg z＜2π． [典例讲评]　1．(源自北师大版教材)请将以下复数表示为三角形式(辐角取主值)： (1)＋i；(2)1－i；(3)－1． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 　将复数代数形式化为三角形式的步骤 (1)先求复数的_____． (2)决定_____所在的象限． (3)根据象限求出_____． (4)求出复数的三角形式． 提醒：复数三角形式的四个要求：模非负、角相同、余弦前、加号连，缺一不可．任何一个不满足，就不是三角形式． [学以致用]　1．下列是复数三角形式的是(　　) A．2 B．2 C．－2 D．2 探究2　复数三角形式乘法法则与几何意义 探究问题4　如果把复数z1，z2分别写成三角形式z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，你能计算z1z2并将结果表示成三角形式吗？ _____ _____ 探究问题5　我们知道复数的加、减运算具有几何意义，那么复数乘法很可能也具有几何意义．思考讨论复数乘法运算的三角表示有什么几何意义呢？ _____ _____ _____ [新知生成] 已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝_____． 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的_____，积的辐角等于各复数的_____． [典例讲评]　2．(源自北师大版教材)如图，向量与复数－1＋i对应，把按逆时针方向旋转120°，得到．求向量对应的复数(用代数形式表示)． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 　(1)乘法法则：模相乘，辐角相加． (2)逆时针方向旋转与复数的三角形式的乘法的几何意义相对应． [学以致用]　2．计算：(1)3； (2)． _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 探究3　复数三角形式除法法则与几何意义 [新知生成] 已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z2≠0，则＝_____． 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于_____减去_____所得的差． [典例讲评]　3．计算： (1)÷[2( ＋ isin )]； (2)÷[ ＋ isin )]． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 　(1)除法法则：模相除，辐角相减． (2)顺时针方向旋转与复数的三角形式的除法 ... ...