代数基本定理 1．代数基本定理 任何一元n(n∈N*)次复系数多项式方程f (x)＝0至少有一个复数根． 它说的是：任何一元n(n∈N*)次复系数多项式f (x)在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而一元n次多项式方程有n个复数根(重根按重数计)． 2．一元多项式方程的根与系数之间的关系 (1)设实系数一元二次方程a2x2＋a1x＋a0＝0(a2≠0)在复数集C内的根为x1，x2，则 (2)设实系数一元三次方程a3x3＋a2x2＋a1x＋a0＝0(a3≠0)． ① 在复数集C内的根为x1，x2，x3，可以得到，方程①可变形为a3(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝0， 展开得a3x3－a3(x1＋x2＋x3)x2＋a3(x1x2＋x1x3＋x2x3)x－a3x1x2x3＝0． ② 比较①②可以得到 【典例】 (1)(多选)在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，在复数集范围内，若ω是x3＝1的一个根，则ω2＋ω＋1＝( ) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)设多项式函数f (x)＝anxn＋an－1xn-1＋…＋a1x＋a0(an≠0)，根据代数基本定理可知方程f (x)＝0有n个根x1，x2，…，xn．则x1＋x2＋…＋xn＝_____；x1x2…xn＝_____． [尝试解答] _____ _____ 1．设实系数一元三次方程x3＋2x2＋3x＋4＝0在复数集C内的根为x1，x2，x3，则的值为( ) A．－2 B．0 C．2 D．4 2．(多选)设实系数一元四次方程ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝0(a≠0)，在复数集C内 的根为x1，x2，x3，x4，则下列结论正确的是( ) A．x1＋x2＋x3＋x4＝－ B．x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4＝－ C．x1x2x3x4＝ D．x1x2＋x1x3＋x1x4＋x2x3＋x2x4＋x3x4＝ 探究课2 代数基本定理 典例探究 典例 (1)AD (2)－ (－1)n [(1)因为x3＝1，所以x3－1＝0，即(x－1)(x2＋x＋1)＝0，所以x＝1或x＝即ω＝1或ω＝ 当ω＝1时，ω2＋ω＋1＝3； 当ω＝时，ω2＋ω＋1＝0．故选AD． (2)由题意知： f (x)＝an(x－x1)(x－x2)·…·(x－xn)， ∴an(x－x1)(x－x2)·…·(x－xn)＝anxn＋an－1xn-1＋…＋a1x＋a0， ∴ ∴] 对点训练 1．A [∵x3＋2x2＋3x＋4＝(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝x3－(x1＋x2＋x3)x2＋(x1x2＋x1x3＋x2x3)x－x1x2x3， 由对应系数相等得： x1＋x2＋x3＝－2，x1x2＋x1x3＋x2x3＝3， ∴＝(x1＋x2＋x3)2－2(x1x2＋x1x3＋x2x3)＝4－6＝－2．故选A．] 2．AC [由题设知： ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝a(x－x1)(x－x2)(x－x3)(x－x4) ＝a[x4－(x1＋x2＋x3＋x4)x3＋(x1x2＋x1x3＋x1x4＋x2x3＋x2x4＋x3x4)x2－(x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4)x＋x1x2x3x4]， ∴x1＋x2＋x3＋x4＝－， x1x2＋x1x3＋x1x4＋x2x3＋x2x4＋x3x4＝， x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4＝－故选AC．] 2/2(
课件网) 探究课2 代数基本定理 第七章 复数 1．代数基本定理 任何一元n(n∈N*)次复系数多项式方程f (x)＝0至少有一个复数根． 它说的是：任何一元n(n∈N*)次复系数多项式f (x)在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而一元n次多项式方程有n个复数根(重根按重数计)． 知识提炼 2．一元多项式方程的根与系数之间的关系 (1)设实系数一元二次方程a2x2＋a1x＋a0＝0(a2≠0)在复数集C内的根为x1，x2，则 (2)设实系数一元三次方程a3x3＋a2x2＋a1x＋a0＝0(a3≠0)． ① 在复数集C内的根为x1，x2，x3，可以得到，方程①可变形为a3(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝0， 展开得a3x3－a3(x1＋x2＋x3)x2＋a3(x1x2＋x1x3＋x2x3)x－a3x1x2x3＝0． ② 比较①②可以得到 【典例】 (1)(多选)在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，在复数集范围内，若ω是x3＝1的一个根，则ω2＋ω＋1＝( ) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)设多项式函数f (x)＝anxn＋an－1xn-1＋…＋a1x＋a0(an≠0)，根据 ... ...
