2.2.1不等式及其性质 学案（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

2.2.1不等式及其性质 学习目标 1．了解不等式的性质，会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系． 2．会用比较法比较两实数的大小． 二、重难点 重点：不等式的性质运用，用比较法比较大小 难点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系． 三、知识梳理 1.比较实数大小的依据 依据 如果_____，那么； 如果_____，那么； 如果_____，那么 结论 确定任意两个实数的大小关系，只需确定它们的差与_____的大小关系即可 通过比较两式之差的符号来判断两式大小的方法通常称为_____. 2.不等式的性质 性质1：如果，那么_____. 性质2：如果，那么_____. 性质3：如果，那么_____. 性质4：如果，那么. 性质5：. 3.不等式的几个常用推论 推论1：如果，那么_____. 推论2：如果，那么_____. 推论3：如果，那么_____. 推论4：如果，那么. 推论5：如果，那么. 4.反证法 首先假设结论的_____成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立. 这种得到数学结论的方法称为反证法，反证法是一种间接证明的方法. 5.综合法 综合法中，最重要的推理形式为_____，其中是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论. 应用举例 例1：京沪线上，复兴号列车跑出了350km/h的速度，这个速度的2倍再加上100km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系． 解：设复兴号列车速度为v1， 民航飞机速度为v2， 普通客车速度为v3． v1，v2的关系：2v1＋100≤v2， v1，v3的关系：v1＞3v3． 例2：已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． 解：3x3－（3x2－x＋1）＝（3x3－3x2）＋（x－1） ＝3x2（x－1）＋（x－1）＝（3x2＋1）（x－1）． ∵x≤1，∴x－1≤0，而3x2＋1＞0， ∴（3x2＋1）（x－1）≤0，∴3x3≤3x2－x＋1． 例3：某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠． 解：设该单位职工有n人（n∈N*），全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元， 则y1＝x＋x·（n－1）＝x＋xn，y2＝nx． 因为y1－y2＝x＋xn－nx ＝x－nx＝x， 当n＝5时，y1＝y2； 当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2． 因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠． 五、课堂训练 1.正文中不等式的性质和推论，如果都加上等号，结论仍然成立吗？把成立的结论重新叙述一遍. 2.判断下列命题的真假： （1）当时，；（2）当时，；（3）当且时，. 3.用“>”或“<”填空： （1）_____； （2）_____； （3）_____； （4）当c_____0时，； （5）_____；（6），_____bd. 4.求证：如果，，那么. 5.用反证法证明. 6.利用正比例函数给出不等式性质2和性质3的直观解释. 7.用“>”或“<”填空： （1）_____； （2）_____； （3），_____bc； （4）_____1； （5）_____； （6）_____. 8.证明，并说明等号成立的条件. 9.已知a，b，m都是正实数，，求证：. 六、课后练习 1.若，，则( ) A. B. C. D. 2.下列命题为真命题的是( ) A.若，则 B.若，，则 C.若，则 D.若，则 3.从平面直角坐标系的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列关于所取点的说法中一定正确的是( ) A.第一象限的点比第二象限的点多 B.第二象限的点比第三象限的点多 C.第三象限的点比第一象限的点多 D.第四象限的点比第二象限的点多 4.下列叙述正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 5.已知a，b，，则下列说 ... ...