2.2.4均值不等式及其应用 学案（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

2.2.4均值不等式及其应用 学习目标 1．掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件． 2．会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小． 二、重难点 重点：均值不等式运用，均值不等式成立的条件 难点：运用均值不等式求最值 三、知识梳理 1.均值不等式（基本不等式） （1）算术平均值与几何平均值 前提 给定两个正数 结论 数_____称为的算术平均值 数_____称为的几何平均值 （2）均值不等式 前提 都是_____数 结论 符号成立的条件 当且仅当_____时，等号成立 几何意义 所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大 2. 均值不等式与最值 （1）已知均为正实数，如果积是定值，那么当时，和有最小值，为_____. （2）已知均为正实数，如果和是定值，那么当时，积有最大值，为_____. （3）上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大. 运用以上结论求最值要注意下列三个条件： ①一正：要求各数均为_____； ②二定：要求和或积为_____； ③三相等：要保证具备_____成立的条件. 应用举例 例1：给出下面三个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－－＋－≤－2＝－2． 其中正确的推导为（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 答案：B 解析：①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确． ②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件， ∴＋a≥2＝4是错误的． ③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确． 例2：（1）已知a，b∈（0，＋∞），则下列各式中不一定成立的是（ ） A．a＋b≥2 B．＋≥2 C．≥2 D．≥ （2）已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是_____． 答案：（1）D （2）a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac 解析：（1）由≥得a＋b＝2， ∴A成立； ∵＋≥2＝2，∴B成立； ∵≥＝2，∴C成立； ∵≤＝，∴D不一定成立． （2）∵a，b，c互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac． ∴2（a2＋b2＋c2）>2（ab＋bc＋ac）． 即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac． 五、课堂训练 1.已知，求的最小值，并说明x为何值时y取得最小值. 2.已知，求证：，并推导出等号成立的条件. 3.（1）把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？ （2）把12写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？ 4.已知，求的最大值，以及y取得最大值时x的值. 5.已知，求的最大值，以及y取得最大值时x的值. 6.已知a，b都是正数，求证：. 7.用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地（墙的长大于），矩形的长、宽各为多少时，菜地的面积最大？并求出这个最大值. 六、课后练习 1.已知，则的最小值为( ) A.16 B.18 C.8 D.20 2.已知实数x，y满足，且，则的最小值为( ) A. B.8 C. D. 3.函数在上的最小值是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知正实数m，n满足，则的最小值为( ) A. B. C. D. 5.若矩形的周长为4，则的最小值为( ) A.8 B.4 C.9 D.4.5 6.已知，，则的最小值为( ) A. B. C.4 D.2 7.（多选）设正数x，y满足，则下列说法正确的是( ) A.的最小值为 B.的最小值为4 C.的最大值为 D.的最小值为 8.（多选）下列命题中，正确的有( ) A.最小值是4 B.“”是的充分不必要条件 C.若，则 D.若a，，且，则的最小值为9 9.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，则矩形广告的总面积最小值为_____. 10.某单位决定投资3200元建一仓库（长方体形状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧墙砌砖，每 ... ...