3.3函数的应用（一）学案（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

3.3函数的应用（一） 学习目标 1．了解函数模型（如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用． 2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题． 二、重难点 重点：通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养 难点：实际问题中的最值问题，数学运算素养提升． 三、知识梳理 1.几类常见的函数模型 名称 解析式 条件 一次函数模型 _____ k≠0 反比例函数模型 _____ k≠0 二次函数模型 一般式：_____ 顶点式：_____ a≠0 分段函数模型 会利用分段函数解决与之相关的实际问题 数学 建模 2.解决函数应用问题的步骤 利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： （一）_____；（二）_____；（三）_____；（四）_____. 这些步骤用框图表示如图： 应用举例 例1：某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30 000．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（ ） A．2000套 B．3000套 C．4000套 D．5000套 答案：D 解析：因利润z＝12x－（6x＋30000），所以z＝6x－30000，由z≥0解得x≥5000，故至少日生产文具盒5000套． 例2：某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式； （3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 思路点拨：本题中平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）是一个一次函数关系，虽然x∈[50，55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题． 解：（1）根据题意，得y＝90－3（x－50）， 化简，得y＝－3x＋240（50≤x≤55，x∈N）． （2）因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润． 所以w＝（x－40）（－3x＋240）＝－3x2＋360x－9600（50≤x≤55，x∈N）． （3）因为w＝－3x2＋360x－9600＝－3（x－60）2＋1200， 所以当x<60时，w随x的增大而增大． 又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1125． 所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元． 五、课堂训练 1.一种商品的售价上涨后，又下降了，求商品的最终售价y与原来的售价x之间的关系. 2.某村2006年年底共有2000人，全年工农业总产值为4320万元，若从2007年起，该村工农业总产值每年增加160万元，人口每年增加20人，设2006年后的第x年该村人均工农业产值为y万元，写出y与x之间的关系式. 3.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系（a，b，c是常数），如图，记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( ) A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟 4.在经济学中，函数的边际函数定义为.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台（）的收入函数为（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差. （1）求利润函数及边际利润函数； （2）利润函数与边际利润函数是否具有相同的最大值？ 5.某公司最近4年对某种产品投入的宣传费x万元与年销售量之间的关系如下表所示. x 1 4 9 16 y 168.6 236.6 304.6 372.6 （1）根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适宜作为y与x的函数模型？ （2）已 ... ...