5.2.1 基本初等函数的导数 基础过关练 题组一 利用导数公式求函数的导数 1.已知f(x)=-,则f'(x)= ( ) A.- B. C. D.- 2.已知=1,x0∈,则sin x0=( ) A. B. C.1 D.0 3.(多选题)下列计算不正确的有( ) A.'=cos B.(2x)'=2xlog2e C.(lg x)'= D.(cos x)'=sin x 4.已知f1(x)=sin x, fn+1(x)=f'n(x),n∈N*,则f2 028= ( ) A.- B.- C. D. 5.求下列函数的导数: (1)f(x)=;(2)f(x)=log2x;(3)f(x)=5x; (4)f(x)=-2sin1-2cos2. 题组二 导数公式的应用 6.(多选题)设t为实数,若直线y=x+t是曲线y=f(x)的切线,则f(x)的解析式可能为( ) A.f(x)= B.f(x)=x4 C.f(x)=ex D.f(x)=cos x 7.若点P是曲线y=ln x上任意一点,则点P到直线y=x+3的距离的最小值为( ) A.1 B. C. D.2 8.法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》中给出一个定理:如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上是连续不断的,且在开区间(a,b)上可导,那么在区间(a,b)上至少存在一个实数t,使得f(b)-f(a)=f '(t)(b-a),其中t称为“拉格朗日中值”.函数g(x)=ex在区间[0,1]上的“拉格朗日中值”t= . 9.设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1x2x3…x2 024= . 10.已知函数y1=的图象与函数y2=ax(a>0且a≠1)的图象在公共点处有相同的切线,则a= . 11.已知A(x1,y1),B(x2,y2)为曲线y=ex上两个不同的点,过A,B分别作y=ex的两条切线,若这两条切线交于点C(x0,y0),且这两条切线的斜率之积为1,则当-取得最小值时,x1= . 答案 基础过关练 1.B 由题意可得f'(x)='=(-x-3)'=3x-4=. 2.D 令f(x)=sin x,则=f '(x0)=1,又f '(x)=cos x,所以f '(x0)=cos x0=1,又x0∈,所以x0=0,所以sin x0=0. 3.ABD '=0,A中计算错误;(2x)'=2xln 2,B中计算错误;(lg x)'=,C中计算正确;(cos x)'=-sin x,D中计算错误. 4.D 由题意得f2(x)=f'1(x)=cos x, f3(x)=f'2(x)=-sin x, f4(x)=f'3(x)=-cos x, f5(x)=f'4(x)=sin x=f1(x),……,故f2 028(x)=f4(x)=-cos x, 所以f2 028=-cos=. 5.解析 (1)因为f(x)==, 所以f '(x)==. (2)因为f(x)=log2x,所以f '(x)=. (3)因为f(x)=5x,所以f '(x)=5xln 5. (4)因为f(x)=-2sin=2sin·=2sincos=sin x, 所以f '(x)=(sin x)'=cos x. 6.BC 若直线y=x+t为函数y=f(x)图象的切线,则f'(x)=有解. 对于A, f'(x)=-<0,所以f'(x)不可能等于,故A错误﹔ 对于B, f'(x)=4x3,令4x3=,解得x=,故B正确; 对于C, f'(x)=ex,令ex=,解得x=ln ,故C正确; 对于D, f'(x)=-sin x∈[-1,1],所以f'(x)不可能等于,故D错误. 7.D 易知当曲线y=ln x在点P处的切线与直线y=x+3平行时,点P到直线y=x+3的距离最小,设P(x0,ln x0). 由y=ln x得y'=,故y'==1,得x0=1,所以P(1,0),所以点P(1,0)到直线y=x+3的距离为=2. 8.答案 ln(e-1) 解析 由f(b)-f(a)=f '(t)(b-a),a
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