2025 年成都石室天府中学高一数学竞赛班联赛第一次模考 参考答案 一、填空题 2. 3. 8 4. 5. 6.84 7. 8.7 解答题 9. 10. 11. b2=0402-a5=3×1-22=-1, b3=0503-a4=5×2-32=1. :bm=(-1)n+1 假设n=k时结论成立，即b=(-1)+1,当n=k+1时， bk+1=ak+3ak+1-a+2=(ak+2+ak+1)ak+1-ak+2 =-ak+2(ak+2-ak+1)+呢+1=-ak+2ak+a候+1=-b=(-1)k+2 由数学归纳法知：bn=(-1)n+1,故b2025=1 注：写bn=(-1)n-1也可. 方法二：递推法 bn+1=an+3an+1-a2+2=(an+2+an+1)an+1-a2+2 =-n+2(an+2-an+1）+a2+1=-an+2an+a2+1=-bn 因此{bn}是公比为-1的等比数列，由初始值b1=1,得通项：bn=(-1)n+1 b2025=(-1)2025+1=1. 方法三：通项公式法用特征根法可得数列{an}通项公式为： Ta四，aE2,8=1-6」 an = V5' 2 aB=-1,a+B=1 代人bn=an+2an-a2+1,逐项化简： 6.=[a"+2-3ma”-B)-(a+1-Bn+1)A a-angnt3-atgntt2 =号-a(a2+的+2a+川 =5[-(-1)”.3+2(-1)m+](:a8=-1,a2+B=3) =(-1)n+1. 所以b2025=1 (2)由(1)知：bk-1=ak+10k-1-a2=（-1)K→C=a2十(-1)K=ak-1ak+1 1=1—=ak—=0+1-ak-1=1 1 Ck ak-1ak+1 ak-1akak+1 ak-1akak+1 ak-1ak akak+1 -1 1 1 1 anan+1 因数列{an}严格递增且无界(an≥n对n≥5)，故： n 1>0→1=1-。1<1. anan+1 Ck k=2 anan+1 当n→∞时，an→0，故∑22=1 综上：存在实数”使得∑=2六 2. 若 f (x) 的值域为 [9,11], 则 a 的取值范围是 _____ 3. 正四面体 ABCD 的棱长为 4, 空间动点 P 满足 则 的最大 值与最小值之差为 _____ 4. 函数的最小值为 _____ 5. 一个不均匀的骰子, 掷出 1,2,3,4,5,6 点的概率依次成等差数列, 独立地先后掷该骰子两次, 所得的点数分别记为 a, b . 若事件“”发生的概率为 , 则事件“ a = b ” 发生的概率为 _____ 6. 某种复杂化合物 A 的合成路径如图.为了合成 A，从原料 X,Y,Z 开始操作，每次操作进行一次转化（图中一个箭头代表一次转化），则共有_____种操作顺序 7. 曲线 和 y= x2 +7 相交于点 A、B、C，△ABC 的外心和垂心为 P 和 Q，则 PQ = _____ 8. 设 A, B 为集合, 满足 |A| = 3 且 A ∪ B = {1, 2, · · · , 9} . 若 A 中所有元素的乘积等于 B 中所有元 素的和, 则这样的 A 有 _____ 个 二、解答题: 本大题共 3 小题, 满 ... ...
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