第六章 数列 第一节 数列的概念及简单表示法 A组 基础题组 1.数列1,,,,,…的一个通项公式是( ) A.an= B.an= C.an= D.an= 2.(2015陕西宝鸡一模,3)设数列{an}的前n项和Sn=n2+n,则a4的值为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 3.设an=-2n2+29n+3(n∈N*),则数列{an}的最大项是( ) A.107 B.108 C. D.109 4.(2015浙江杭州三模,4)数列{an}定义如下:a1=1,当n≥2时,an=若an=,则n的值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 5.(2015广东深圳五校联考(一),5)已知数列{an}满足a1=3,an+1=,则a2 016=( ) A.3 B.2 C.1 D.-1 6.(2013课标全国Ⅰ,14,5分)若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式是an= .? 7.已知a1=2,an+1-an=2n+1(n∈N*),则an= .? 8.数列{an}中,a1=1,对于所有的n≥2,n∈N*,都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5= .? 9.已知数列{an}满足前n项和Sn=n2+1,数列{bn}满足bn=,且前n项和为Tn,设cn=T2n+1-Tn. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)判断数列{cn}的增减性. 10.已知数列{an}中,an=1+(n∈N*,a∈R且a≠0). (1)若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值; (2)若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求a的取值范围. B组 提升题组 11.在各项均为正数的数列{an}中,对任意m,n∈N*,都有am+n=am·an.若a6=64,则a9等于( ) A.256 B.510 C.512 D.1 024 12.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an=( ) A.2+ln n B.2+(n-1)ln n C.2+nln n D.1+n+ln n 13.(2013安徽,14,5分)如图,互不相同的点A1,A2,…,An,…和B1,B2,…,Bn,…分别在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等.设OAn=an.若a1=1,a2=2,则数列{an}的通项公式是 .? 14.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a(a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N*. (1)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式; (2)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围. 15.(2015浙江,20,15分)已知数列{an}满足a1=且an+1=an-(n∈N*). (1)证明:1≤≤2(n∈N*); (2)设数列{}的前n项和为Sn,证明:≤≤(n∈N*). 答案全解全析 A组 基础题组 1.B 数列可写成,,,…,故通项公式可写为an=.故选B. 2.C a4=S4-S3=20-12=8. 3.B ∵an=-2n2+29n+3=-2+,n∈N*,∴当n=7时,an取得最大值108. 4.C 因为a1=1,所以a2=1+a1=2,a3==,a4=1+a2=3,a5==,a6=1+a3=,a7==,a8=1+a4=4,a9==,所以n=9,选C. 5.B 由于a1=3,an+1=,所以a2==1,a3==2,a4==3,所以数列{an}是周期为3的周期数列,所以a2 016=a672×3=a3=2. 6.答案 (-2)n-1 解析 由Sn=an+得,当n≥2时,Sn-1=an-1+,∴当n≥2时,an=-2an-1,又n=1时,S1=a1=a1+,a1=1,∴an=(-2)n-1. 7.答案 n2+1 解析 由an+1-an=2n+1得an-an-1=2n-1,an-1-an-2=2n-3,……,a3-a2=5,a2-a1=3,则n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=2+3+5+7+…+(2n-3)+(2n-1)=2+=n2+1,又a1=2满足上式,∴an=n2+1. 8.答案 解析 由题意知a1·a2·a3·…·an-1=(n-1)2(n≥2), ∴an=(n≥2), ∴a3+a5=+=. 9.解析 (1)a1=2,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2). ∴bn= (2)∵cn=bn+1+bn+2+…+b2n+1=++…+, ∴cn+1-cn=+-=-=<0,∴cn+1
a1>a2>a3>a4, a5>a6>a7>…>an>1, ∴数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0. (2)an=1+=1+. ∵对任意的n∈N*,都有an≤a6成立, ∴利用函数g(x)=1+的性质, 可知5<<6,解得-10