2024-2025学年广东省湛江市廉江实验学校高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.每次停放自行车时，将脚撑放下自行车即可固定在地面上，其中蕴涵的道理是( ) A. 两条直线确定一个平面 B. 三点确定一个平面 C. 不共线三点确定一个平面 D. 两条平行直线确定一个平面 3.已知为虚数单位，则( ) A. B. C. D. 4.如图，为的边上的中线，且，那么为( ) A. B. C. D. 5.已知圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，则该圆台的侧面积为( ) A. B. C. D. 6.已知向量满足，则在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 7.在正方体中，是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 8.已知的内角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是( ) A. B. C. 的虚部为 D. 在复平面内对应的点位于第二象限 10.已知，，则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 11.堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著九章算术商功如图，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱堑堵如图，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑则( ) A. 阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形 B. 鳖臑的四个面均为直角三角形 C. 阳马的体积是鳖臑的体积的两倍 D. 堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数的定义域是_____． 13.如图，一艘船以每小时的速度向东航行，船在处观测灯塔在北偏东方向，行驶后，船到达处，观测个灯塔在偏东方向，此时船与灯塔的距离为_____． 14.三棱锥中，平面，，，一球球心在平面内，并且与三个侧面都相切，则球的半径为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知向量，，，． 当时，求的值； 当时，求的值． 16.（15分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． 证明：平面； 求四棱锥的体积． 17.（15分）在中，角，，的对边分别为，，已知． Ⅰ求角的大小； Ⅱ若，，求的面积． 18.（17分）如图，在四棱锥中，平面，，． 求证：平面； 若，求与平面成角的正弦值； 设点为的中点，过点，的平面与棱交于点，且平面，求的值． 19.（17分）法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”如图，的内角，，的对边分别为，，，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心分别为，，． Ⅰ求角； Ⅱ若，且的周长为，求； Ⅲ若的面积为，求的角平分线的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：向量，，，， 当时，则，得， 当时，则，解得或． 16.如图所示，连接，， 因为为平行四边形，是中点， 所以，是平行四边形的对角线，所以是中点， 又因为是中点，所以是中位线，所以， 因为平面，平面，所以平面； ． 17.解：Ⅰ， 由正弦定理得， 因为， 所以，， 在中，， 所以； Ⅱ，， 由余弦定理得， 得，解得或舍， 故 ． 18.证明：因为平面，平面， 所以， 又，，，平面， 所以平面． 解：因为，平面， 所以平面， 所以为直线与平面所成角的平面角， 在中，， 在中，， 所以． 解：因为平面，平面平面，平面， 所以， 因为点为的中点， 所以点为的中点， 所以． 19.解： ... ...
