22.2.3 公式法 导学案（含答案） 2025-2026学年数学华东师大版九年级上册

22.2.3 公式法 素养目标 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程. 3.经历探索求根公式的过程,发展推理能力. 4.通过运用公式法解一元二次方程,提高运算能力,并能在学习活动中获得成功的体验,建立学好数学的自信心. 重点 一元二次方程求根公式的推导和公式的简单应用. 【预习导学】 知识点 一元二次方程的求根公式 阅读课本本课时的“探索”,回答下列问题. 1.回忆用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么 2.写出用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)的过程. 归纳总结　由于ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)具有代表性,能够代表任意一个一元二次方程,所以只要将任意一个一元二次方程中的系数a,b,c的值代入　 　即可得到这个方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做公式法,　 　叫做一元二次方程的求根公式. 对点自测 用公式法求一元二次方程的根时,首先要确定a,b,c的值,对于方程-4x2+3=5x,下列叙述正确的是 ( ) A.a=-4,b=5,c=3 B.a=-4,b=-5,c=-3 C.a=4,b=5,c=3 D.a=4,b=5,c=-3 【合作探究】 任务驱动一 用公式法解一元二次方程 1.用公式法解下列方程: (1)x2+4x=2;(2)4x2+4x+10=1-8x. 方法归纳交流　用公式法解一元二次方程的一般步骤: (1)把方程化成一般形式,并写出a,b,c的值; (2)求出b2-4ac的值,并与0作比较; (3)①当b2-4ac　 　0时,将a,b,c的值代入求根公式x=　 　求解; ②当b2-4ac　 　0时,原方程　 　. 变式演练　【过程性学习】小明在解方程x2-5x=-3的过程中出现了错误,其解答如下: 解:∵a=1,b=-5,c=-3,……第一步 ∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(-3)=37,……第二步 ∴x=,……第三步 ∴x1=,x2=.……第四步 (1)小明的解答是从第　 　步开始出错的. (2)请写出本题正确的解答. 任务驱动二 选择合适的方法解一元二次方程 2.用适当的方法解下列方程: (1)2(x-1)2-18=0; (2)x2+4x-1=0; (3)9(x+1)2=(x-1)2; (4)9x2-12x-1=0. 方法归纳交流　一元二次方程的解法有四种:直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法.其中方程特点及使用方法如下: ①形如(　　)2=k(k≥0)的方程适宜用　 　法; ②易写成几个整式积的形式的方程适宜用　 　法; ③用配方法能够解任何一种方程,但是二次项系数为1,一次项系数为偶数时更适宜 用　 　法; ④用　 　法适宜解任何一种方程. 变式演练　用适当的方法解方程: y2+2y=99. 参考答案 【预习导学】 知识点 1.解:用配方法解一元二次方程的一般步骤:(1)将方程化为一般式;(2)把二次项的系数化为1;(3)移项;(4)配方;(5)求解. 2.解:∵a≠0,∴x2+x+=0, 即x2+x=-, x2+x+2=2-, x+2=. ∵a≠0,∴4a2>0. ①当b2-4ac<0时,<0,此时原方程无解; ②当b2-4ac≥0时,x+=±, ∴x=-±,即x1=,x2=. 归纳总结　x=　x= 对点自测 D 【合作探究】 任务驱动一 1.解:(1)将原方程化为一般形式,得x2+4x-2=0, a=1,b=4,c=-2, ∴b2-4ac=42-4×1×(-2)=24>0, ∴x==-2±, 即x1=-2+,x2=-2-. (2)将原方程化为一般形式,得4x2+12x+9=0, a=4,b=12,c=9, ∴b2-4ac=122-4×4×9=0, ∴x==-,即x1=x2=-. 方法归纳交流　(3)①≥　　②<　无解 变式演练　解:(1)一. (2)化为一般式得x2-5x+3=0. ∵a=1,b=-5,c=3, ∴Δ=(-5)2-4×1×3=13>0, ∴x==, 故x1=,x2=. 任务驱动二 2.解:(1)将原式整理得(x-1)2=9, ∴x-1=±3, ∴x1=4,x2=-2. (2)x2+4x-1=0, x2+4x+4=1+4, (x+2)2=5, ∴x+2=±, ∴x1=-2+,x2=-2-. (3)9(x+1)2=(x-1)2, [3(x+1)]2-(x-1)2=0, [3(x+1)+(x-1)][3(x+1)-(x-1)]=0, (4x+2)(2x+4)=0, 解得x1=-,x2=-2. (4)9x2-12x-1=0, a=9,b=-12,c=-1, ∴b2-4ac=(-12)2-4×9×(-1)=180>0, ∴x==,即x1=, x2=. 方法归纳交流　①直接开平方　②因式分解　③配方 ④公式 变式演练　解:(方法不唯一) y2+2y+1=99+1, (y+1)2=10 ... ...