4.1 数学建模：从生活到科学的智慧钥匙 课件（17页） 2025-2026学年北师大版（2019）高中数学选择性必修第一册

(课件网) 第4章 数学建模活动（三） 4.1 数学建模：从生活到科学的智慧钥匙 1.能将实际问题转化为可分析的数学问题，掌握数学建模的初始问题转化方法； 2.学会运用几何公式、方程思想、逻辑推理等数学工具与方法，构建数学模型，并对模型进行推导与分析，得出结论； 3.能够将数学模型的结论与实际场景结合，解释结论的实际意义，掌握数学模型的实际应用方法； 4.了解不同领域数学模型的构建逻辑，掌握从问题背景分析、模型建立、求解到应用的完整建模流程，形成系统的数学建模思维. 情境1：包汤圆中的数学智慧 问题背景：在包汤圆时，面量固定而馅量增加，如何调整汤圆大小以包下更多馅料？这是一个生活中常见的问题. 通过数学建模，我们发现皮厚度一致且形状相同是关键假设，这使得我们可以利用几何公式进行分析. 模型分析：通过几何面积和体积的关系推导，我们发现分成多个小皮包成的汤圆总体积小于一个大皮包成的汤圆体积；原因在于表面积增加导致体积相对减小. 这一结论揭示了数学在日常生活中的巧妙应用. 结论与应用：在面量不变、馅量增加时，少包几个（汤圆大一些）能包下更多馅料. （表面积增加导致体积相对减小，即相同体积下，表面积更大）； 该原理在生活中的应用： 情境1：包汤圆中的数学智慧 空调的散热片 原理：相同重量的金属材料，分割成更多小部件后总表面积大幅增加，能更高效地与空气进行热交换； 食物烹饪与加热 经验：炖煮大块肉类时，若将其切成小块再煮，相同重量的肉总表面积增加，能更快吸收汤汁的味道，且受热更均匀、煮熟时间更短 情境2：测量电阻的巧妙模型 问题背景：在摩天大楼中测量三根电线电阻是一个难题，直接测量难以实现.数学建模提供了一种巧妙的解决方案. 模型构建：假设三根电线的电阻分别为x、y、z，通过在底层和顶楼进行不同连接组合并测量总电阻，列出三元一次线性方程组. 模型优势：利用方程求解突破了直接测量的限制，通过数学逻辑推理解决了实际工程问题，体现了数学建模的强大功能. 情境2：测量电阻的巧妙模型 实际意义：这一模型不仅解决了测量电阻的难题，还展示了数学建模在工程领域的独特价值，为类似问题提供了新的思路. 数学建模在工程领域的应用： 桥梁抗震稳定性预测模型 水坝水位调控模型 情境3：自由落体运动模型 物理背景：自由落体运动是物理学中的经典问题，描述了在只受重力作用下，物体在空气中自由下落的运动规律. 根据牛顿的运动定律，物体在重力作用下的加速度为重力加速度 g. 设物体下落的时间为 t，初速度为 v0，下落的高度为 h，试着建立自由落体运动的数学模型. 自由落体运动数学模型：h = v0t + gt2 ，v = v0 + gt. 当物体从静止开始下落时，v0 = 0 ，模型可简化为h = gt2，v = gt . 这些公式清晰地描述了物体下落的高度、速度与时间之间的关系. 自由落体运动模型在工程领域的应用 设计高楼大厦的电梯运行轨道 计算导弹的发射轨迹 情境4：供需关系模型 经济概念与背景：供需关系是经济学中的核心概念，描述了市场上商品的供给和需求之间的相互关系. 在市场经济中，商品的价格和数量受到供给和需求的双重影响，了解和掌握供需关系的变化规律，对于企业生产决策、市场预测、政府价格调控等都具有重要意义. 模型构建：通过建立供求曲线来直观地展示供给和需求与价格之间的关系. 供给曲线表示在不同价格水平下，生产者愿意提供的商品数量； 需求曲线表示在不同价格水平下，消费者愿意购买的商品数量. 两条曲线的交点即为市场的均衡点，对应的价格为均衡价格，数量为均衡数量. 结论：当市场价格高于均衡价格时，供给量大于需求量，会出现供过于求的现象，价格有下降的压力；反之，当市场价格低于均 ... ...