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课件网) 第五章 三角函数 5.1.2 弧度制 课程导入 度量角的单位有：度、分、秒. 请同学们回顾一下，在初中我们学过哪些度量角的单位？ 把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作. 的角是如何定义的 这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 课程导入 度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制. 它们之间可以进行换算： 米英尺 度量质量可以用千克、磅等不同的单位制. 它们之间可以进行换算： 千克磅 一个量可以用不同的单位制来度量，而且不同的单位制能给解决问题带来方便. 那角的度量除了采用六十进制的角度制外，是否也能用不同的单位制呢？是否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？ Part 01 弧度制的概念 问题探究 如图，射线绕端点旋转到形成角. 在旋转过程中，射线上的一点（不同于点）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角. 设，，点所形成的圆弧 的长为. 观察一下题目中涉及到哪些量呢？ 圆心角、弧长、弧长对应的半径 问题探究 如图，射线绕端点旋转到形成角. 在旋转过程中，射线上的一点（不同于点）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角. 弧长公式 于是 这几个量之间的关系可以用我们初中所学过的什么公式来表示？ 问题探究 如图，在射线上任取一点(不同于点P)，，在旋转过程中，点所形成的圆弧 的长为，与？你能得出什么结论？ 问题探究 ∵ ， 由上题可知， 的长与半径的比值 圆弧 两比值相等. 问题探究 也就是说，圆心角所对的弧长与半径的比值 随的确定而唯一确定. 这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的比值来度量圆心角. 弧度制 定义 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度单位用符号rad表示. 单位 读作弧度. 读法 我们把半径为1的圆叫做单位圆. 在单位圆中， ∠AOB就是1弧度的角. 的长等于1， 弧度制 当 ， 即时，弧长所对圆心角为2弧度. 当 ， 即时，弧长所对圆心角为3弧度. 弧度制 规定：如果半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为rad，那么 其中，的正负由角的终边的旋转方向决定. 即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负. Part 02 角度与弧度的换算 问题探究 角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算，如何换算呢？ 当角的终边旋转一周，所得到的周角的弧度数是，而在角度制下的度数是360，所以 rad， rad rad rad 反过来有 角度与弧度的换算 一般地，只需根据 就可以进行弧度与角度的换算了. rad rad 例题解析 例4 按照下列要求，把化成弧度： （1）精确值； 解： （1）因为 ，所以 （2） 精确到0.001的近似值. rad （2）利用计算器计算可得1.178097245 因此， rad. 角度与弧度的换算 注意 1 2 今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数即可；而以角度为单位表示角时，“度”或“”不可以省略. 角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用. 防止出现或 一类的错误写法. 也就是说，两项所采用的单位制必须一致，正确写法为 或 . 角度与弧度的换算 填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表： 度 弧度 Part 03 弧长公式与扇形面积公式 弧长公式与扇形面积公式 例6 利用弧度制证明下列关于扇形的公式： 证明： 由公式 可得 （1）； （2）； （3）. 其中是圆的半径，为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积. 弧长公式与扇形面积公式 下面证明（2）（3） 半径为，圆心角为的扇形的弧长公式和面积公式分别是 将 转换为弧度，得 于是 将代入上式，即得 弧长公式与扇形面积公式 弧长与扇形面积公式 公式 角度制 弧度制 弧长公式 扇形面积公式 Part 04 小结及随堂练习 课堂小结 规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度 ... ...
