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课件网) 第五章 三角函数 三角函数的概念 （第1课时） 课程导入 问题01 在初中是如何定义锐角三角函数的？ 初中学习的锐角三角函数是在直角三角形中定义的，如图，在中， 的对边分别，，， ，则 课程导入 对于上一节开头提出的问题，我们先来研究他的特殊情况： 单位圆上的点以为起点做逆时针方向的旋转，你能建立一个数学模型，刻画点的位置变化情况吗？ 01 任意角三角函数的定义 问题探究 根据研究的经验，我们利用直角坐标系来研究上述问题. 如图，以单位圆的圆心为原点，以射线为轴的非负半轴，建立直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为 射线从轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角，终止位置为. 问题探究 问题02 当时，点的坐标是什么？当 或 时，点的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？ 问题探究 追问 01 当时，如何求点的坐标？ 当时，点位于第一象限. 过点作轴的垂线交轴于. 在中，可得 即所以点的坐标为. 问题探究 你能利用上述经验求当 或 时点的坐标吗？ 当时，点位于轴的正半轴上， 当时，点位于第二象限. 在中，可得 即所以点的坐标为. 所以点的坐标为. 追问 02 问题探究 任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标是唯一确定吗？ 追问 03 因为单位圆的半径不变，点的坐标只与角的大小有关. 当角确定时，点的坐标也唯一确定. 问题探究 利用信息技术对猜想进行验证，你能用函数的语言刻画这种对应关系吗？ 追问 04 对于任意角，它的终边与单位圆交点为，无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的. 所以，点的横坐标、纵坐标都是角的函数. 动态演示 结论 退出 任意角三角函数的定义 下面给出这些函数的定义. 设是一个任意角，，它的终边与单位圆相交于点 （1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即 . （2）把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即 . （3）把点的纵坐标与横坐标的比值 叫做的正切，记作，即 . 任意角三角函数的定义 问题03 单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值是角的函数吗？ 当时，的终边在轴上，这时点的横坐标等于，所以无意义. 除此之外，对于确定的角， 的值也是唯一确定的. 任意角三角函数的定义 所以， 也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数. 任意角三角函数的定义 问题04 正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？ 正弦函数：实数（弧度）对应于点的纵坐标； 余弦函数：实数（弧度）对应于点的横坐标； 正切函数：实数（弧度）对应于点的纵坐标与横坐标的比值 . 任意角三角函数的定义 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 . 例题解析 例1 求 的正弦、余弦和正切值. 解： 在直角坐标系中，作. 的终边与单位圆的交点为，过作轴于点. 在中，，则，，则点坐标为，所以 ， ， . 例题解析 利用定义求任意角的三角函数值的步骤： 在平面直角坐标系中，作单位圆. 1 利用定义求，和的值. 3 2 设角的终边与单位圆的交点为，求出点的坐标，具体求法如下： ①作轴于点；②解，得和的值，从而确定点的坐标. 例题解析 例2 如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为. 求证：，，. 例题解析 分析： 如图，设角的终边与单位圆交于点分别过点，作轴的垂线，，垂足分别为，，由，根据三角函数的定义可以得到证明. 例题解析 证明： 如图，设角的终边与单位圆交于点分别过点，作轴的垂线，，垂足分别为，，则 ， ， 于是 即 因为和同号，所以 ， 即 同理可得 ， . 任意角三角函数的定义 问题06 例2向我们展示了当任意角终边上的点P不是单位圆的交点时求三角函数的方式，给出了任意 ... ...
