第2课时 充要条件 【课程标准要求】 1.通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义及数学定义与 充要条件的关系.2.通过对充分条件、必要条件及充要条件的判定与证明,加深逻辑推理的核心素养. 充要条件 如果p q,且q p,那么称p是q的充分且必要条件,简称为p是q的充要条件,也称q的充要条件是p,可记作p q. 如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p q,那么p与q互为充要条件. [做一做] 若p是q的充要条件,q是r的充要条件,则p是r的 . 【答案】 充要条件 【解析】 因为p q,q r,所以p r,所以p是r的充要条件. 探究点一 充要条件的判断 [例1] 已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),则下列各结论中正确的为( ) ①Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充分条件; ②Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的必要条件; ③Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件; ④Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件. [A]③ [B]①② [C]①②③ [D]①②③④ 【答案】 D 【解析】 首先我们应清楚Δ=b2-4ac≥0是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根的充要条件.利用该结论可知,①②③是正确的.同时当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实根,故④也是正确的.故选D. 当p是q的充要条件是正确的时,p是q的充分条件及p是q的必要条件都是正确的,故上述结论③正确时,结论①②也正确.应该指出的是:p是q的充分条件包含了两种可能,p是q的充分且不必要条件与p是q的充要条件;同样,p是q的必要条件也包含了两种可能,p是q的必要且不充分条件与p是q的充要条件.其实结论④可进一步明确成Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分且不必要条件. [针对训练]给出下列各组条件: (1)p:ab=0,q:a2+b2=0; (2)p:m>0,q:方程x2-x-m=0有实根; (3)p:|x-1|>2,q:x<-1. 其中p是q的充要条件的有( ) [A]0组 [B]1组 [C]2组 [D]3组 【答案】 A 【解析】 对于(1),ab=0指其中至少有一个为零,而a2+b2=0指两个都为零,因此q p,但pq, p是q的必要且不充分条件;对于(2),方程x2-x-m=0有实根的充要条件是Δ=1+4m≥0, 即m≥-,所以p q但qp,p是q的充分且不必要条件;对于(3),|x-1|>2 x>3或x<-1, 所以pq但q p,所以p是q的必要且不充分条件.故选A. 探究点二 证明充要条件 [例2] 已知ab≠0.求证:a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 【证明】 先证必要性.因为a+b=1, 所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)+ab-a2-b2=a2-ab+b2+ab-a2-b2=0. 所以必要性成立. 再证充分性.因为a3+b3+ab-a2-b2=0, 即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0, 所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. 又因为ab≠0,所以a≠0且b≠0, 从而a2-ab+b2=(a-)2+≠0. 所以a+b-1=0,即a+b=1.故充分性成立. 所以a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 充要条件的证明策略 (1)要证明p是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题为真:“若p,则q”为真,且“若q,则p”为真. (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证出哪些结论. [针对训练] 求证:关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+b=-(c+d). 【证明】 充分性: 因为a+b=-(c+d), 所以a+b+c+d=0, 所以a×13+b×12+c×1+d=0成立, 故x=1是方程ax3+bx2+cx+d=0的一个根. 必要性: 因为关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一个根为1, 所以a+b+c+d=0, 所以a+b=-(c+d)成立. 故方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+b=-(c+d). 探究点三 利用充要条件求参数 [例3] 求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实数根的充要条件. 【解】 当a=0时,方程为2x+1=0,所以x=-为一负根,符合题意. 当a<0时,因为Δ=4-4a>0,设方程ax2+2x+1=0的两根分别为x1,x2,则x1x2=<0,x1+x2=->0,为一正根、一负根,符合题意. 当a> ... ...
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